3. Уравнение шредингера

3.1. Частица в одномерной потенциальной яме Основные формулы

Одномерное временное, уравнение Шредингера

где i - мнимая единица (i = ); m -масса частицы; (x,t) - волновая функция, описывающая состояние частицы; U(x,t) – характеристика силового поля, в котором находится частица.

Стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция: конечность (во всем пространстве), однозначность, непрерывность самой  - функции и ее первой производной.

Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной час­тицы,

где А - амплитуда волны де Бройля; р - импульс частицы; Е - энергия час­тицы,

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

,

г

Рис.3.1 Рис.3.2

де Е - полная энергия частицы; U(x) - потенциальная энергия; ц/(х) - коор­динатная часть волновой функции.

Вероятность Р обнаружить частицу в интервале от x₁ до х₂ находиться интегрированием dP в указанных пределах:

где |  (х)|² - плотность вероятности.

Условие нормировки волновой функции .

Собственное значение энергии Е_п частицы, находящейся на

n-м энер­гетическом уровне в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме,

(0 = 1,2,3,..),

где d - ширина потенциальной ямы. Соответствующая энергии собственная волновая функция имеет вид

Примеры решения задач

З

адача 1. Электрон находиться в бесконечно глубокой одномерной яме шириной d. Вычислить вероятность обнаружения электрона на первом энергетическом уровне в интервале d/4, равноудалённом от стенок ямы.

Решение

Вероятность Р обнаружить частицу в интервале x₁<x<x₂ определя­ется равенством:

(1)

где (x) - нормированная собственная волновая функция, отвечаю­щая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая со­стояние электрона в потенциальной яме, имеет вид

Невозбуждённому состоянию (n=1) отвечает волновая функция

(2)

Подставив ₁(x ) в подынтегральное выражения формулы (1) и вы­нося постоянные её за знак интеграла, получим

Пределы интегрирования определим из условия равноудаленности интервала d/4 от стенок ямы (рис.3.1). Тогда

Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид: .Найти решение уравнения. [ ]

2. Электрону в потенциальном ящике шириной d отвечает волновой век­тор (где n = 1,2,3...). Используя связь энергии электрона Е с волно­вым вектором k, получить выражение для собственных значений энергии En. [ ]

3. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциаль­ном ящике, имеет вид . Используя условия нормиров­ки, определить постоянную С. [ ]

4. В потенциальной яме бесконечной глубины движется электрон. Во сколько раз изменится минимальное значение кинетической энергии элек­трона, если ширина потенциальной ямы уменьшится вдвое? [увеличится в 4 раза]

5. Электрон находится в потенциальном ящике шириной d = 0,5 нм. Опреде­лить наименьшую разность Е энергетических уровней электрона. [4,48 эВ]

6. Вычислить энергию, которая необходима, чтобы перевести частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной d=0,l нм с первого энергетического уровня на второй. Задачу решить для электрона и для частицы с массой 10 г. [112,5эВ; 10,27 10^-20 эВ].

7. Какого размера должна быть одномерная прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками, чтобы локализованная в ней частица имела на самом глубоком уровне энергию Е = 1эВ. Задачу решить для элек­трона и протона. [ ; м; м]

8. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти ширину ямы, если разность энергии между уровнями с n₁=2 и n₂ =3 составляет = 0,3 эВ. [2,5 нм]

9. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти массу частицы, если ширина ямы d и разность энергий энергетических уровней n₁ и n₂ равна . [ ]

10. Частица массой m находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно P. Найти ширину ямы и энергию частицы в данном состоянии. [ ; ]

11. Частица в потенциальном ящике шириной d находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить, в каких точках интервала (0<х<d) плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное зна­чения. [максимум при x₁=d/4, x₃=3d/4; минимум при x₂ =d/2]

12. Электрон находится в потенциальном ящике шириной d. В каких точ­ках интервала (0<х<d) плотность вероятности нахождения электрона на пер­вом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить значение плотности вероятности для этих точек. [х₁ = d/3; x₂ = 2d/3; ]

13.Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике находится в низшем возбужденном состоянии. Какова вероятность обнаружения частицы в крайней четверти ящика? [0,33]

14. В прямоугольном потенциальном ящике шириной d находится частица в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале d/4 равноудаленном от стенок ящика. [0,091]

15. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике находится в основном состоянии (n=1). Какова вероятность обнаружения частицы в крайней трети ящика? [0,2]