1.2. Примеры решения задач

1. Атом водорода находится в основном состоянии. Определить вероят­ность пребывания электрона внутри сферы радиусом г = 0,1 а, где а - радиус первой боровской орбиты.

Решение

Вероятность р обнаружения электрона в атоме водорода, находящегося в основном состоянии, в интервале (r,r+dr) одинакова по всем направлениям и определяется формулой.

где, - собственная функция, описывающая S-состояние электрона.

Для удобства вычислений введем безразмерную величину r/a, тогда и

Искомую величину найдем интегрированием:

Вычисление интеграла упроститься, если выражение разложить в степенной ряд и ограничиться лишь первой степенью разложения, т.е.

. Следовательно,

2. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3d-состоянии. Определить изменение механического и магнитного моментов, обусловленных орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.

Решение

Изменение механического и магнитного моментов находится как разность моментов в конечном (основном) и начальном (возбужденном) состояниях, т.е.

Механические и магнитные моменты орбитального движения электрона зависят только от орбитального квантового числа:

Учитывая, что в основном состоянии l=0, L=0, Pm2=0, а в возбужденном (3d) состоянии l=-2, L1=h , Pm1= , найдем изменение орбитального механического и магнитного моментов:

ΔL = -h ∙ , ΔPm = -µБ ∙

Знак минус показывает, что в данном случае происходит уменьше­ние орбитальных моментов.

Подставив значения h = 1.05-10-34 Дж∙с, µБ = 0.927∙10-23 Дж/Тл, подучим ΔL = 2,57∙10-34 Дж∙с; ΔPm = 2,27∙10-23 Дж/Тл

1.3. Задачи для самостоятельного решения

1.Собственная волновая функция, описывайся основное состояние электрона в атоме, имеет вид ψ(г) = С∙е-г/а, где С - некоторая по­стоянная. Найти из условия нормировки постоянную С.

Ответ: С = l / .

2. В основном состоянии атома водорода волновая функция электрона имеет вид ψ(г) = С∙е-г/а, где С - некоторая по­стоянная.. Определить расстояние r, при котором вероятность нахождения электрона максимальна.

Ответ: r = π ∙εo∙ h2 / (m ∙ e2).

3. Вычислить для атомарного водорода длины волн первых трех линий серии Бальмера.

Ответ: 657, 487, 434 нм.

4. Определить квантовое число n возбужденного состояния атома во­дорода, если известно, что при переходе в основное состояние атом излучил два фотона с λ1 =656,3нм и λ2 = 121,6 нм.

Ответ: n= 3.

5. Найти квантовое число n, соответствующее возбужденному состо­янию иона Не+, если при переходе в основное состояние этот ион ис­пустил последовательно два фотона с длинами волн 108,5 и 30,4 нм.

Ответ: n = 5.

6.В спектре атомарного водорода известны длины волн трех линий, принадлежащих одной и той же серии: 97,26; 102,58; 121,57 нм. Най­ти длины волн других линии в данном спектре, которые можно предска­зать с помощью этих трех линий.

Ответ: 1,88; 0,657; 0,486 мкм.

7.Определить длину волны λ спектральной линии атомарного водоро­да, частота которой равна разности частот следующих двух линий серии Бальмера: λ1 = 486,1 нм, λ2 = 410,2 нм. Какой серии принадлежит эта линия?

Ответ: λ3 = 2,63 мкм, n2 = 4 (серия Брекета).

8.Определить для атома водорода и иона Не+ :

а) энергию связи электрона в основном состоянии;

б) потенциал ионизации;

в) первый потенциал возбуждения;

г) длину волны головной линии серии Лаймана.. Ответ:

	Есв, эВ	Ψi, В	Ψ, В	λ,нм
H	13,6	13,6	10,2	121,5
Не	54,5	54,5	40,8	30,4

9. Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают:

а) на 4 энергетический уровень;

б) на 10 энергетический уровень;

в) на n-й энергетический уровень?

Ответ: а) 6; б) 45; в) n(n-1)/2.

10. Найти скорость фотоэлектронов, вырываемых электромагнитным из­лучением с длиной волны λ= 18,0 нм из ионов Не+, которые находятся в основном состоянии и покоятся.

Ответ: = 2,3∙106 м/с.

11. Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий го­ловной линии серии Лаймана. Какую скорость приобрел атом?

Ответ: = 3,25 м/с.

12. Покоившийся ион Не+ испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Этот фотон вырвал фотоэлектрон из покоящегося атома водорода, который находился в основном состоянии. Найти ско­рость фотоэлектрона.

Ответ: = 3.1∙106 м/с.

13. Вычислить:

а) спиновой момент импульса для электрона и величину проекции этого момента на направление внешнего магнитного поля;

б) спиновой магнитный момент электрона и проекцию магнитного момента на направление внешнего поля;

в) отношение магнитного момента к механическому моменту для электрона.

Ответ:

а) |Ls| = 0,915∙10-34Дж∙с; Lsh = ± 0,527∙10-34 Дж∙с.

б) Рms = µБ = 1.61∙10-23 Дж/Тл; РmsH = µБ = 0,927∙10-23 Дж/Тл.

в) Pms / Ls = e/m =1,76∙1011 1/(Тл∙с) .

14. Атом водорода, находившийся первоначально в основном состоя­нии, поглотил квант света с энергией ε = 10,2 эВ. Определить измене­ние момента импульса ΔL орбитального движения электрона. В возбуж­денном атоме электрон находится в р - состоянии. '

Ответ: ΔL = 1.49∙10-34 Дж∙с.

15. Используя векторную модель атома, определить наименьший угол α, который может образовать вектор L момента импульса орбитального дви­жения электрона в атоме с направлением внешнего магнитного поля. Электрон в атоме находится в d-состоянии.

Ответ: α = 35°20'.

16. Момент импульса орбитального движения электрона в атоме водо­рода L = 1,83∙10-34 Дж∙с. Определить магнитный момент Рm, обуслов­ленный орбитальным движением электрона.

Ответ: Рm = 1.61∙10-23 Дж/Тл.

17. Определить возможные значения магнитного момента Рm, обуслов­ленного орбитальным движением электрона в возбужденном атоме водоро­да, если энергия возбуждения ε = 12,09 эВ.

Ответ: 0; 1,31∙10-23 Дж/Тл; 2.23∙10-23 Дж/Тл. 18. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3р-состоянии. Определить изменение магнитного момента, обусловленного орби­тальным движением электрона при переходе атома в основное состояние. Ответ: ΔРm = -µБ = -1.31∙10-23 Дж/Тл.