
- •Основы Квантовой физики методические указания
- •I. Квантовая оптика
- •1.1. Тепловое излучение Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •1.2. Фотоэффект Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •1.3. Фотоны. Давление света Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •1.4. Эффект Комптона Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •Контрольные задания по квантовой оптике
- •2. Волновые свойства частиц
- •2.1. Волны де Бройля Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •3. Уравнение шредингера
- •3.1. Частица в одномерной потенциальной яме Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •3.2. Прохождение частицы через потенциальный барьер о Рис.4.1 сновные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •Контрольные задания по квантовой механике
- •Библиографический список
- •III. Атомная физика
- •1. Атом водорода по квантовой теории:
- •1.1. Теоретический материал
- •1.2. Примеры решения задач
- •1.3. Задачи для самостоятельного решения
- •2. Рентгеновские спектры
- •2.1. Теоретический материал
- •2.2. Примеры решения задач
- •2.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Основы Квантовой физики
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.2. Прохождение частицы через потенциальный барьер о Рис.4.1 сновные формулы
Коэффициенты преломления n, отражения R и пропускания D волн де Бройля для низкого потенциального барьера (U<E) бесконечной ширины
,
,
где 1 и 2 - длины волн, де Бройля в областях 1 и 2 (частица движется из области 1 в область 2); k1 и k2 - соответствующие значения волновых чисел.
Коэффициент отражения для высокого (U>E) потенциального барьера бесконечной ширины
.
Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины
,
где U - высота потенциального барьера; Е-энергия частицы; m-масса частицы; d-ширина барьера.
Примеры решения задач
1
Решение
Направим ось Ox в направлении движения частицы (рис. 3.2) будем считать, что потенциальная энергия определяется условиям U=0, если x<0 (область 1); U=U0, если x>0 (область 2). Стационарные уравнения Шредингера, описывающие движения частиц в соответствующих областях, будут иметь следующий вид:
,
(1)
.
(2)
Введя обозначения
,
получим
, (3)
. (4)
Решением данных уравнений являются функции
,
(5)
.
(6)
Эти
функции после умножения на временной
множитель
будут представлять собой суперпозицию
волн де Бройля, распространяющихся в
обе стороны, а квадраты их амплитуд -
интенсивности этих волн.
В
области 1 распространяются как падающая,
так и отраженная волны с интенсивностями
= (A1)2
и
= (В1)2.
В области 2 распространяется только
проходящая волна, поэтому В2=
0.
Предположим, что амплитуда падающей волны А1 =1, и вычислим амплитуды В1 и А2. Воспользовавшись условиями непрерывности пси-функции и ее производной
,
.
Получим:
А1 + В1 = А2, (7)
К1(А1-В1) = К2А2. (8)
Решение данной системы дает следующие выражения для искомых коэффициентов:
, (9)
.
(10)
Коэффициент отражения R, определяющий вероятность отражения частицы от потенциального барьера, выражается формулой
=
.
(11)
На
основании закона о сложении вероятностей
можно утверждать с достоверностью, что
налетающая на барьер частица либо
отразится от него, либо пройдет далее,
т.е. выполняется условие
,
где D – коэффициент прохождения частицы
через барьер. Учитывая данное соотношение,
найдем выражение для коэффициента
прохождения частицы
.
На
рис. 3.3 изображена действительные части
падающей волны (
)
и прошедшей волны (
).
Выполнение условий непрерывности
пси-функции и ее производной приводит
к плавному сопряжению косинусоид.
Задача 2. На высокий потенциальный барьер U бесконечной ширины падает поток частиц с энергией Е<U (рис. 3.4). Установить выражение для плотности вероятности нахождение частицы на расстоянии x от границы барьера.
Решение
Для высокого потенциального барьера в области x<0, уравнение Шредингера имеет вид
,
(1)
а его решение
.
(2)
В области x>0 уравнение Шредингер запишется следующим образом
.
(3)
Решение данного уравнения имеет вид
.
(4)
Воспользовавшись условиями непрерывности волновой функции и ее первой производной в точке x=0, получим систему уравнений,
(5)
,
из которых следует, что амплитуда отраженной волны равна
,
(6)
где
.
Вычисления модуля амплитуды отраженной волны дают единицу, из чего следует, что в стационарном состоянии вся энергия падающей волны отражается, но под «ступенькой» существует экспоненциально затухающая волновая функция с амплитудой
. (7)
Н
а
рис.3.4 изображены действительная часть
падающей волны де Бройля движущейся
частицы в области 1 и экспоненциально
убывающая волновая функция в области
2.
3. Электрон с энергией Е=9 эВ движется на прямоугольный потенциальный барьер высотой U=10 эВ и шириной d=0,1 нм. Определить коэффициент прозрачности барьера. Представить на графике вид волновой функции электрона.
Решение
Рассмотрим движение электрона вдоль оси x и выделим 3 области (рис 3.5), в которых потенциальная энергия электрона имеет следующие значения:
при
-
при
0
при
(обл. 1)
(обл. 2)
(обл. 3)
Уравнение Шредингера для областей 1 и 3 имеет вид
А для области 2
Пренебрегая отраженными волнами на границах раздела 1-2 и 2-3, решения данных дифференциальных уравнений можно представить в следующем упрощенном виде
,
(1)
,
(2)
.
(3)
Коэффициент Α1 в выражении (1) связан с интенсивностью пучка частиц, движущихся к барьеру, и принимается, как обычно, равным единице, а значения других коэффициентов с учетом принятых упрощений будут следующими
А2≈ А1=1 и А3≈А2e-kd . (4)
Коэффициент А3 представляет амплитуду волновой функции, прошедшей через барьер, а отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волны определяет вероятность прохождения частиц через барьер, т.е. коэффициент прозрачности
(5)
Подстановка
численных значений дает D
0,2.
Вид пси-функций Ψ1(x), Ψ2(x), Ψ3(x) представлен на рис. 3.6. Волновая функция частицы всюду непрерывна и гладко переходит из одной области в другую. В области барьера она экспоненциально уменьшается при изменении x от нуля до d. Поскольку волновые числа в области I и III одинаковы, длины волн де Бройля также одинаковы и равны
Р
ис.
3.6