- •Содержание
- •1. Множества 10
- •2. Математическая логика 39
- •3. Теория графов 96
- •Тема 1. Множества 168
- •Тема 2. Математическая логика 169
- •Тема 3. Теория графов 171
- •Множества
- •1.1. Операции над множествами. Мощность множеств. Отображение множеств
- •Упражнение 1.1.1
- •Упражнение 1.1.2
- •1.2. Отношения на множествах
- •Будет ли пустое множество V каким-либо подмножеством некоторого множества?
- •Математическая логика
- •2.1. Алгебра высказываний
- •Логические операции
- •Функции алгебры высказываний
- •2.2. Проблемы разрешимости. Нормальные формы Логические отношения
- •2. Отношение эквивалентности.
- •3. Несовместимость.
- •Проверка правильности рассуждений
- •Нормальные формы формул алгебры высказываний
- •Совершенные нормальные формы
- •Построение формулы алгебры высказываний по заданной логической функции
- •Моделирование алгебры высказываний с помощью релейно-контактных схем
- •2.3. Исчисление высказываний Символы, формулы, аксиомы исчисления высказываний. Правила вывода
- •Теорема дедукции
- •Проблемы непротиворечивости, полноты, независимости аксиом исчисления высказываний
- •2.4. Логика предикатов
- •Кванторы
- •Кванторы как обобщение логических связок.
- •Отрицание кванторных предикатов
- •Теория графов
- •3.1. Графы
- •Степень вершины графа. Число ребер графа
- •Связность
- •Эйлеровы и гамильтоновы цепи и циклы. Теоремы Эйлера
- •Изоморфизм графов
- •Планарность. Плоские графы
- •Числа, характеризующие граф
- •Операции над графами. Объединение графов
- •Пересечение (произведение) графов
- •Прямое произведение графов
- •Матрицы для графов
- •Матрица инциденций
- •Матрицы достижимостей и контрадостижимостей
- •3.2. Деревья
- •Постановка задачи
- •Алгоритм Краскала
- •3.3. Экстремальные задачи на графах Задача о кротчайшем пути между двумя вершинами ориентированного графа и ее экономическая интерпретация
- •Алгоритм
- •Сети. Отношение порядка между вершинами ориентированного графа
- •Задача о пути максимальной длины между двумя вершинами ориентированного графа в сетевом планировании
- •Алгоритм
- •Сетевое планирование. Скорейшее время завершения проекта
- •Контрольное задание №1
- •Контрольное задание №2
- •Контрольное задание №3
- •Контрольное задание №4
- •Контрольное задание №5
- •Контрольное задание №6
- •Контрольное задание №7
- •Контрольное задание №8
- •Контрольное задание №9
- •Контрольное задание №10
- •Контрольное задание №11
- •Контрольное задание №12.
- •Контрольное задание №13.
- •Контрольное задание №14.
- •Контрольное задание №15
- •С писок рекомендуемой литературы
- •Интернет-ресурсы
- •Тема 2. Математическая логика
- •Тема 3. Теория графов
С писок рекомендуемой литературы
Александров, П.С. Введение в теорию множеств и теорию функций. – М. : Наука, 1977
Балюкевич, Э.Л., Ковалева Л.Ф. Математическая логика и теория алгоритмов : учебное пособие. – М. : МГУЭСИ, 2007.
Гаврилов, Г.П., Сапоженко, А.А. Задачи и упражнения по курсу «Дискретная математика». – М. : Наука, 1992
Грей, П. Логика, алгебра и базы данных. – М. : Машиностроение, 1989
Гиндикин, С.Г. Алгебра логики в задачах. – М. : Наука, 1972.
Ерусалимский, Я.М. Дискретная математика. – М. : Вузовская книга, 2000.
Колмогоров, А.Н., Фомин, С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. : Наука, 1989
Клини С. Математическая логика. – М. : Мир, 1973.
Ковалева, Л.Ф., Данков, О.Ю., Горбовцов Г.Я., Мокеева И.К. Дискретная математика. – М. : МЭСИ, 1988.
Нефедов, В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. – М. : МАИ, 1992.
Новиков, Н. С. Элементы математической логики. – М. : Наука, 1973.
Под редакцией Скорнякова Л.А. Общая алгебра. II. – М. : Наука, 1990г.
Эдельман, С.Л. Математическая логика. – М. : Высшая школа, 1975.
Яблонский, С.В. Введение в дискретную математику. – М. : Наука, 1979.
Интернет-ресурсы
www.osp.mesi.ru (сайт учебного процесса МЭСИ). Балюкевич Э.Л., Ковалева Л.Ф., Романников А.Н. Дискретная математика.
www.booka.ru/booka_topic_6114?id=97427 Дискретная математика. Курс лекций.
Р уководство по изучению дисциплины
Содержание основных тем.
Множества
1.1. Операции над множествами. Мощность множеств. Отображение множеств.
1.2. Отношения на множествах.
Математическая логика.
2.1. Алгебра высказываний.
2.2. Проблема разрешимости. Нормальные формы.
2.3. Исчисление высказываний.
2.4. Логика предикатов.
Теория графов.
3.1. Графы.
3.2. Деревья.
3.3. Экстремальные задачи на графах.
Тема 1. Множества
При изучении данной темы следует обратить внимание на то, что понятие «множество» является одним из основных во всех математических дисциплинах. Это можно проиллюстрировать большим количеством примеров как из школьной так и из вузовской – высшей математики.
Изучая понятие мощности множества, основные теоремы о счетных множествах, нужно подчеркнуть, что «количество элементов» в бесконечном множестве может быть различным, что дискретные множества – это конечные и счетные множества, дискретная математика – математика дискретных величин, в отличие от математики непрерывных величин.
Изучив данную тему студент должен:
Знать:
основные понятия теории множеств, понятие мощности множества, операции над множествами, как частный случай алгебры Буля, декартово произведение множеств, отображение множеств, типы отображений, отношения на множествах, специальные бинарные отношения.
Уметь:
иллюстрировать основные понятия примерами из различных математических прикладных дисциплин.
План практических занятий по теме 1.
Алгебра Буля. Операции над множествами (иллюстрация операций диаграммами). Основные равносильные формулы. Преобразования формул.
Эквивалентные множества. Мощность множества. Сравнение мощностей множеств.
Прямое произведение множеств. Отображение множеств. Типы отображений.
Отношения на множествах. Бинарные отношения, свойства отношений. Специальные бинарные отношения.
Рекомендации по выполнению конкретных заданий, вопросы и тесты для самопроверки содержатся в учебно-практическом пособии «Дискретная математика». – М. : МГУЭСИ, 2009 (авторы Э.Л. Балюкевич, Л.Ф. Ковалёва, А.Н. Романников). /Литература 1/