9.2. Дискретные передаточные функции и разностные уравнения при описании суим

В инженерной практике для описания динамических дискретных звеньев СУИМ (объектов управления, регуляторов, фильтров и т.п.) применяют дискретные передаточные функции (ДПФ), записываемые в виде

(9.9)

где X(z), Y(z) – соответственно входная и выходная переменные дискретного звена. Заметим, что практически реализуемые дискретные передаточные функции должны иметь порядок полинома знаменателя больше порядка полинома числителя.

Способы получения ДПФ:

1). Прямой способ (прямое дискретное преобразование Лапласа):

x

(t) x(kT) X(z)

y(t) y(kT) Y(z)

Чтобы получить прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала x(t), необходимо заменить этот сигнал дискретными значениями x(kT). Каждое значение x(kT) домножить на z^-k, а затем полученный степенной ряд свернуть в конечную сумму (9.7), которая по сути представляет собой дискретное преобразование Лапласа X(z). Аналогично получают прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала y(t). Прямое Z-преобразование является однозначным преобразованием.

2). С помощью таблицы Z –преобразований [6-10]. Алгоритм получения ДПФ аналогичен рассмотренному выше, но не требует нахождения дискретных выборок входного x(kT) и выходного y(kT) сигналов.

3). Метод подстановки. На практике наиболее распространены два типа подстановок:

– метод прямоугольников (нуль-интерполяции):

; (9.10)

– метод трапеций или метод Тастина (линейная интерполяция):

, (9.11)

где T – такт квантования.

Метод трапеций обеспечивает более точную в отношении среднеквадратического критерия аппроксимацию непрерывных сигналов, как при их нарастании, так и спадании.

К ДПФ и соответствующим структурным схемам применимы те же правила структурных преобразований, что и для непрерывных систем.

Для синтеза систем управления реального времени, исследования цифровых систем управления во временной области используют разностные уравнения. Если известна дискретная передаточная функция какого-либо звена, то получение разностного уравнения не представляет труда. В частности, разностные уравнения, описывающие процессы в идеальных интегрирующих звеньях, аппроксимируемых методами нуль-интерполяции и линейной интерполяции, имеют соответственно вид: Y (kT) = Y ((k-1)T) + TX (kT);

Y (kT) = Y ((k-1)T) + 0,5 T [X (kT) + X((k-1)T)].

9.3. Синтез цифровых систем управления

Существует множество методов синтеза цифровых систем управления,

основанных на описании управляемых динамических процессов, как в частотной, так и во временной области [6,10,16,23,24].

Для синтеза цифровых СУИМ применяют, в частности:

– метод дискретизации по времени аналоговых регуляторов класса “вход/выход” (метод аналогий) или метод билинейного преобразования;

– метод переменного коэффициента усиления;

– методы аналитического конструирования дискретных регуляторов состояния.

9.3.1. Методы дискретизации аналоговых регуляторов и билинейного преобразования

Метод дискретизации основан на применении рассмотренных выше процедур синтеза линейных аналоговых СУИМ. В качестве критериев оптимальности принимают общепринятые при синтезе таких систем интегральные квадратичные или иные функционалы, а, следовательно, динамические процессы в оптимизированных контурах регулирования соответствуют реакциям тех или иных оптимальных фильтров, например фильтров Баттерворта n-го порядка, апериодических фильтров и т.п. В одноконтурных и системах подчиненного регулирования координат СУИМ синтезированное аналоговое устройство управления содержит один или несколько последовательно включенных регуляторов (корректирующих устройств) класса “вход/выход”.

Для преобразования аналоговых передаточных функций регуляторов в дискретные передаточные функции применяют замену непрерывных операторов p Лапласа их дискретным аналогом, используя метод прямоугольников (в классической теории управления непрерывными системами – метод Эйлера). Отсюда и второе название данного метода синтеза – метод аналогий.

В качестве примера рассмотрим дискретизацию непрерывного ПИД-закона регулирования. Процедура преобразования иллюстрируется рис. 9.4.

Входным воздействием регулятора является ошибка регулирования e(t) для непрерывного и e(kT) для дискретного управления, выходным сигналом – сигнал u (t) для непрерывного и u (kT) для дискретного управления.

П риведенное преобразование основано на замене (9.10):

Рис. 9.4. Иллюстрация метода дискретизации аналогового ПИД-регулятора

Метод билинейного преобразователя – по сути, тот же метод аналогий, но он сводится к применению подстановки (9.11). Такую подстановку целесообразно применять к интегральной компоненте управления (звену ), поскольку именно она отвечает за точность управления.

Параметры К_рег, К_и, К_Д получены в результате синтеза аналогового ПИД- регулятора, Т – временной интервал между двумя соседними значениями управляющего воздействия (такт управления).

Применение этих методов синтеза предполагает, что дискретизацией аналоговых сигналов по уровню в силу достаточной длины разрядной сетки цифровых средств управления можно пренебречь, такт управления достаточно мал (как правило, на порядок меньше минимальной постоянной времени объекта управления). Также предполагается, что периоды Т прерывания импульсного элемента датчиков обратной связи и регуляторов одинаковы и неизменны, причем синхронизированы во времени. Как показывают исследования [15,16,23,24], в цифровых электромеханических СУИМ такт прерывания не должен превышать 0,005 с. Обеспечение этих условий позволяет получить динамические характеристики цифровой СУИМ практически такие же, что и в непрерывной системе.