4. Середнє квадратичне відхилення (скв).

Обчислення середнього квадратичного (стандартного) відхилення окремого вимірювання при кількості вимірювань n виконується за формулою:

= (8.12)

Дисперсія . При наближеному обисленні, коли замість істинного значення „а” беруть , середне квадратичне відхилення позначають S замість .

8.3. Похибки середнього арифметичного.

Середнє значення результатів нескінченно великої кількості вимірювань (n ) прямує до істинного значення вимірюваної величини. Практично ж ми обчислюємо середнє значення на основі скінченої кількості результатів. Воно, як вже вказувалося, відрізняється від істинного значення на величину , яка є випадковою похибкою середнього значення. При збільшенні кількості вимірювань n значення прямує до 0.

Якщо випадкові похибки результатів окремих вимірювань підлягають нормальному розподілу, то і похибки середніх значень їх повторних рядів підлягають тому ж закону, але з іншою дисперсією (розсіюванням). Розсіювання середніх значень менше, ніж розсіювання результатів окремих вимірювань.

Теорія дає наступний вираз для середнього квадратичного відхилення для середнього значення:

(8.13)

При статистичному методі, замінивши на S в виразі (8.13) отримаємо:

= (8.14)

Ймовірність того, що похибка середнього арифметичного значення не перевишує значення складає 0,68, так само, як і для . Але границі довірчого інтервалу звужуються тобто результат вимірювань виявляється точніше. Оскільки в разів менше , то можна зробити висновок, що виконавши в 100 разів більше вимірювань ми отримаємо з тією ж імовірністю результат на один десятичний знак більш точний. Однак при цьому слід пам’ятати про одну важливу умову – забезпечення незмінності умов вимірювань. Чим більша кількість вимірювань, тим важче виконувати цю умову.

100-кратне збільшення кількості вимірювань не виправдовується, але збільшення в 2, 4 рази безумовно підвищує точність і надійність результата вимірювань. Наприклад, при збільшенні кількості вимірювань в 4 рази випадкова похибка результату зменшиться в ~2 рази при тій же довірчій ймовірності.

8.4. Довірчі інтервали та довірчі ймовірності для середнього арифметичного значення.

Той факт, що випадкові похибки середнього значення також розподіляються по нормальному закону, дає можливість визначити для них довірчий інтервал , який відповідає вибраній довірчій ймовірності, за формулою:

де

Е = = (8.15)

і скористатися таблицями значень функції Ф(t) в залежності від t.

8.5. Обробка результатів прямих рівноточних вимірювань.

Методика подальшої обробки, зокрема з метою оцінки довірчих границь отриманого результату, залежить від апріорної (наявної) інформації про характеристики похибок результатів спостережень. Розглянемо обробку результатів при рівноточних вимірюваннях. Рівноточними вважаються почергові вимірювання незмінними засобами, в незмінних умовах, тим самим експериментатором.

Результати обробляються по-різному, залежно від того, мало (n < 40) чи багато (n ≥ 40) проведено спостережень.

При великій кількості результатів їх обробка проводиться в такій послідовності. Якщо дисперсія (чи стандартне відхилення) випадкових похибок заздалегідь невідомі, то:

1. Визначається оцінка істинного значення вимірюваної величини — середнє арифметичне значення результатів спостережень:

(8.16)

2. Обчислюються випадкові відхилення результатів спостережень та їх квадрати:

(8.17)

3. Визначається середнє квадратичне відхилення результатів спостережень:

(8.18)

4. Перевіряється нормальність розподілу результатів спостережень.

5. Визначається наявність грубих похибок, які відповідають відношенню . Результати з грубими помилками опускають і проводять обчислення для меншого числа спостережень з попередньою послідовністю.

6. Встановивши значення довірчої ймовірності залежно від точності вимірювань (додаток 4), визначаються довірчі границі випадкової похибки:

(8.19)