8.2.2. Опрацювання результатів прямих багаторазових вимірювань.

1. Зменшення впливу випадкових похибок.

Виконавши декілька вимірювань, ми отримаємо ряд числових значень вимірюваної величини. Ці значення відрізняються одне від одного, але всі вони заслуговують однакової довіри, оскількі отримані в однакових умовах і з однаковою ретельністю.

Практично число спостережень (вимірювань) завжди обмежене, а це означає, що одержаний набір значень випадкової величини невеликий: ; в більшості експериментів n < 100. Сукупність обмеженої кількості значень випадкової величини називається вибіркою із генеральної сукупності, а кожне конкретне значення , що належить до вибірки – елементом вибірки.

Генеральна сукупність – повний набір всіх значень, які може в принципі приймати випадкова величина.

Основним методом зменшення впливу випадкових похибок є проведення вимірювань з багаторазовими спостереженнями і подальше статистичне опрацювання отриманих результатів. Методика статистичного опрацювання залежить від статистичних властивостей випадкових похибок, зокрема, їх розподілу, корельованості тощо. В переважній більшості практичних застосуваннях приймають модель нормального розподілу випадкових похибок, що дає можливість застосовувати для обробки результатів добре теоретично обгрунтовані статистичні методи.

Найбільш ефективним методом зменшення впливу на результат вимірювання нормально розподілених випадкових похибок є усереднення результатів.

Якщо в будь-якому конкретному вимірюванні заздалегідь невідомий розподіл випадкових похибок, то необхідно провести детальні дослідження на предмет встановлення форми розподілу. При цьому застосовують відповідні статистичні критерії і для досягнення заданого рівня впевненості про вид розподілу необхідно виконати великий обсяг вимірювальних експериментів, навіть кілька сотень і більше. Найчастіше на основі експериментальних даних спочатку будують гістограму і за її формою роблять попередній висновок про вид розподілу. Далі на основі певних критеріїв (критерій , критерій Колмогорова тощо) перевіряють гіпотезу на приналежність даного розподілу до вибраного модельного. Слід зауважити, що ніякий критерій не дає гарантії про підпорядкованість сукупності експериментальних даних тому чи іншому розподілу, лише отримується відповідь, що з такою ймовірністю такий розподіл не суперечить експериментальним результатам.

2. Обробка результатів при нормально розподілених випадкових похибках.

Найбільш поширена як в теоретичних дослідженнях, так і при практичному опрацюванні результатів вимірювань є модель нормального розподілу випадкових похибок.

Прийнято вважати, що кількість спостережень при багаторазових вимірюваннях не менша за 4 -5 (n ≥ 4-5) В результаті почергових вимірювань даної величини отримують набір результатів , де n – кількість вимірювань.

Для зменшення впливу нормально розподілених випадкових похибок застосовується усереднення результатів вимірювань, тобто за результат вимірювання приймається їх середнє арифметичне значення:

(8.3)

де - середне значення;

– результат і - тового вимірювання;

n – кількість вимірювань.

При цьому припускається, що результати вимірювань вільні від систематичних похибок.

Розглянемо детальніше зміст середнього арифметичного значення. При вимірюванні сталого значення величини „а” вплив випадкових похибок проявляється у хаотичній нерегулярній зміні окремих послідовних в часі результатів (i =1,2,3, ... n ), де n – кількість вимірювань.

Ряд результатів вимірювань можна записати у вигляді:

(8.4)

де а – істинне значення вимірюваної величини або математичне сподівання М(х) випадкової величини;

- похибка і - вого вимірювання.

Теорія імовірностей показує, що алгебраїчна сума всіх випадкових похибок прямує до 0.

(8.5)

Чим більша кількість виконаних вимірювань n, тим вірніша рівність (8.5).

Якщо (8.5) підставити у (8.4), то отримаємо:

звідки

(8.6)

тобто середнє значення є наближеним до істинного.

Введемо ще одно визначення:

Розмах результатів вимірювань – алгебраїчна різниця найбільшого і найменшого результатів окремих вимірювань з ряду n вимірювань:

(8.7)

де – розмах результатів вимірювань;

і – найбільше і найменше значення величини в даному ряді вимірювань.

Наприклад, із п’яти вимірювань діаметра d отвору значення d₅ = 25,56 і d₁ = 25,51мм виявилися максимальним і мінімальним його значеннями. В цьому випадку R_n = d₅ – d₁ = 0,05мм. Це означає, що інші похибки даного ряду менші, ніж 0,05 мм.

3. Відхилення від середнього арифметичного.

В виразі для похибки

нам невідоме “а”. Якщо взяти замість „а” середне значення , то отримуємо:

(8.8)

де - відхилення і - тового результата вимірювання від середнього арифметичного.

Вираз

r = (8.9)

називається середньою арифметичною похибкою окремого вимірювання.

Перевага середньої арифметичної похибки – простота її обчислення. Але частіше визначають середню квадратичну похибку.

Відзначимо дві властивості, характерні для відхилення від середнього арифметичного:

1. Алгебраїчна сума всіх відхилень від середнього арифметичного дорівнює 0:

(8.10)

2. Сума квадратів відхилень від середнього має мінімальне значення:

(8.11).