7.5. Довірчі границі випадкових похибок.

Випадкова похибка, що має нормальний розподіл, може набувати довільних, в тому числі теоретично як завгодно великих значень (густина розподілу простягається від до + ). Подібне характерно також і для інших розподів випадкових похибок. Оскільки густина розподілу при великих за модулем значеннях похибки зменшується, то ймовірність появи таких похибок також зменшується. Основна частина значень похибок групується у порівняно невеликих границях. При експериментальних дослідженнях важливо мати впевненість, що випадкова похибка не виходить певні границі, або що поява похибок, більших за допустимі значення, у цьому експерименті є мало ймовірною. Ця проблема вирішується застосуванням такої інтервальної характеристики випадкової похибки, як її довірчі границі.

Довірчі границі випадкової похибки – це верхня та нижня границі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю . Величина називається довірчою ймовірністю. Іноді її ще називають вірогідністю.

Для визначення довірчих границь похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність попадання похибок у довірчі границі.

Раніше ми говорили, що ймовірність появи похибки , яка не виходить за межі , дорівнює 0,6826 (~ 2/3). В цьому випадку + і - розглядають як границі інтервалу, в межах якого з імовірністю 0,6826 знаходяться значення випадкових похибок .

Границі інтервалу називаються довірчими границями, сам інтервал – довірчим інтервалом, а ймовірність, яка його характеризує, - довірчою ймовірністю . Довірча ймовірність для інтервалу від + до - дорівнює 0,6826. Сам довірчий інтервал має вигляд , де - середнє арифметичне значення результатів вимірювань.

Залежно від мети та точності вимірювань задаватися можуть будь- які границі довірчого інтервалу + і - (скорочено ). При цьому вирішується задача про визначення довірчої ймовірності. Може вирішуватися і обернена задача: по заданій ймовірності визначити довірчий інтервал. Довірчий інтервал дає змогу судити про відтворюваність результатів вимірювань.

Відтворюваність результатів вимірювань – характеристика якості вимірювань, яка відбиває близкість один до одного результатів вимірювань однієї і тієї ж величини, отриманих в різних місцях, різними методами і засобами, різними операторами, в різний час, але приведених до одних і тих же умов (температура, вологість, тиск та інші).

Ймовірність попадання випадкової похибки в симетричний інтервал при нормальному розподілі виражається формулою:

P [-ε < Δ < ε] = P [Δ < ] = Φ (t),

де

Ф (t) = d (при t >0) (7.35)

Причому

Ф (- t) = - Ф (t);

Значення t визначається з виразу:

звідки

, (7.36)

де - границя довірчого інтервалу.

Функція Ф(t) називається інтегралом імовірностей (інтегралом Лапласа).

Ймовірність того, що випадкова похибка виявиться за межами інтервалу , дорівнює:

P[-ε > Δ > ε] =P [ < Δ ] = 1 - Ф(t) (7.37).

Величина Ф(t) = Ф( ), що відповідає даному довірчому інтервалу , називається довірчою імовірністю, а значення 1 - Ф(t) – рівнем значимості.

Довірчі ймовірності і довірчі інтервали визначаються за допомогою таблиць значень інтеграла імовірностей Ф(t) і Ф(- t) = - Ф(t).

Змінна t має також назву квантиль розподілу . Її значення при відомій довірчій ймовірності також знаходять із таблиці.

В довідковій літературі та посібниках по метрології наведено таблицю значень Ф(t) при різних t (додаток 4) та таблицю значень t при заданих значеннях Ф(t) (додаток 5).

Так, при нормальному розподілі похибок з ймовірністю 0,68, випадкові похибки знаходяться у довірчих межах (додаток 5);

з ймовірністю 0,95 — у межах подвійної середньої квадратичної похибки ±2 ; з ймовірністю 0,9973 — у межах ±3 (рис. 7.8).

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95.

На практиці довірчу ймовірність вибирають в залежності від конкретних умов. Наприклад, при виготовлені будь-якої деталі можна вважати цілком задовільним значення 0,995 для ймовірності того, що відхилення розміру не вийде за межі заданого інтервалу. В технічній практиці ймовірність часто виражають в %, тобто для даного випадку її приймають рівною 99,5%. Рівень значимості або ймовірності того, що розміри деталі не будуть задовільняти необхідним вимогам, буде складати 0,5%. Це значить, що в середньому бракуватися буде 1 деталь зі 200. Така ймовірність відповідає довірчому інтервалу від +2,81 до –2,81 (з таблиці знаходимо значення t яке відповідає значенню 1-Ф(t)=0,005. Воно дорівнює t=2,807. Звідси ).

Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями. Припустимо, що ,і визначимо ймовірность Р появи таких похибок.

За даними таблиці додатку 4, загальна сума результатів вимірювань з випадковими похибками до дорівнює 99,73 %. Звідси виникає правило З , за яким при нормальному розподілі результати вимірювань, випадкові похибки Δ яких більші або рівні ( ), можна виключити з ряду результатів, оскільки ймовірність їх появи дуже мала. Якщо при виготовленні деталі прийняти допустиме відхилення від номінального її розміру до , то в середньому одна бракована деталь буде приходитися на 370 виготовлених.

Оскількі така мала ймовірність браку економічно припустима в більшості випадків, то на практиці часто користуються довірчим інтервалом з границями .

Якщо підвищити вимоги до точності виготовлення деталі, тобто звузити границі довірчого інтервалу до , то довірча ймовірність зменшиться до 0,9544 (95,44%). В цьому випадку одна бракована деталь буде приходитися на 22 виготовлені.