2. Поверхности второго порядка

В аналитической геометрии и в алгебраической геометрии поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: , который называется неявным.

О

Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными, тем самым они поддаются геометрическим изменениям

И.Кеплер

пределённая поверхность может и не иметь наглядного геометрического образа. В этом случае говорят о мнимых поверхностях. Например, уравнение определяет мнимую сферу. Хотя в действительном пространстве нет ни самой сферы, ни даже одной точки, координаты которой удовлетворяют такому уравнению.

Помимо указанного выше неявного способа задания поверхность может быть определена явно, если одну из переменных, можно выразить через остальные: .

Соответственно степени уравнения поверхности разделяются на порядки: поверхность первого, второго, третьего и выше порядков. К поверхностям первого порядка относится плоскость. К поверхностям второго - эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, цилиндрические и конические поверхности.

Изучение поверхностей второго порядка – один из немаловажных аспектов развития математики. Реальная жизнь вынуждает решать задачи в многомерных пространствах. Рассмотрим алгебраические поверхности второго порядка.

Уравнение вида определяет эллипс, лежащий в плоскости оху.

Но если мы усложним задачу и будем рассматривать некий геометрический объект, для которого координаты х и у будут удовлетворять заданному условию, а третья координата может принимать любое значение, пробегая значения от -∞ до +∞, то в этом случае эллипс как бы будет то подниматься вверх, то опускаться вниз.

Если мы рассмотрим окружность, как частный случай эллипса, то в нашем случае получим бесконечно протяженный круговой цилиндр. Аналогично, в случае эллипса это будет поверхность, называемая эллиптическим цилиндром (рис.7) .

Рассуждая далее, по аналогии можно заключить, что раз есть поверхность, связанная с эллипсом, то могут быть и поверхности, связанные с другими линиями второго порядка.

Например, в случае гиперболы мы получаем гиперболический цилиндр, заданный уравнением (рис.8), в случае параболы – параболический цилиндр, заданный уравнением (рис.9).

.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Т ак как на плоскости уравнение определяет пару пересекающихся прямых, то в пространстве это будет цилиндр, распавшийся на пару пересекающихся плоскостей, а поверхность, определяемая уравнением – цилиндр, распавшийся на пару параллельных плоскостей, и, наконец, цилиндр, представляющий собой пару слившихся плоскостей имеет уравнение x²=0. В дополнение заметим, что исключенная переменная означает, вдоль какой именно плоскости расположен цилиндр.

Р

Конус

ассмотрим в пространстве некоторую прямую, расположенную под углом к оси оz и будем вращать ее с постоянной скоростью вокруг этой оси. Прямая и опишет поверхность, которая называется конической. Точка О - вершина конуса. Уравнение конуса имеет вид .

Следующая поверхность – это сфера. Ее уравнение или, иначе . Эта сфера имеет центр в точке О(0,0,0) и радиус ее равен R. То есть от начала координат до края сферы по осям х, у и z расстояния равны R. Но если эти расстояния не будут равны между собой, например, по оси х возьмем а, по оси н –b, и по оси z- с, то получим еще одну поверхность в торого порядка – эллипсоид. Его уравнение . Внешне эллипсоид очень похож н

Мяч для регби

а мяч для регби.

Теперь введем в рассмотрение новые виды поверхностей – гиперболоиды и параболоиды.

В рассмотренном выше уравнении эллипсоида все знаки у дробей –положительные. Для начала предположим, что один из знаков отрицательный, например, уравнение имеет вид получим уравнение так называемого однополостного гиперболоида.

Е

Рис.10

го название говорит само за себя – он состоит из одной «полости», то есть части. Данный гиперболоид расположен вдоль оси oz (рис.10). Если же он будет иметь вид то он будет расположен вдоль оси оу.

Из уравнения однополостного гиперболоида вытекает, что координатные плоскости явля­ются плоскостями симметрии, а начало координат - центром сим­метрии однополостного гиперболоида.

Р

Рис.11

аз есть однополостный гиперболоид, то должен существовать и его «брат»- двуполостный гиперболоид. Его уравнение а состоит он уже из двух «полостей» (рис.11).

Определим новую поверхность, сечениями которой, скорей всего, должны быть параболы. Это параболоиды. Выделяют два вида параболоидов - эллиптический и гиперболический.

К аноническое уравнение эллиптического параболоида . Название определяется, видимо, внешней формой записи – в левой части стоит уравнение эллипса, а в правой – части записи уравнения параболы. Для него Oxz и Oyz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.

Э

Рис. 12

ллиптический параболоид расположен в пространстве z ≥ О, так как левая часть уравнения всегда неотрицательна. Линии пересечения эллиптического парабо­лоида плоскостями z=h, h > О, представляют собой эллипсы.

П

Рис. 13

ри увеличении h эллипсы неограниченно увеличиваются, так что эллиптический параболоид представляет собой бесконечную чашу (рис.12). В сечении другими плоскостями, например, у = h и х = h, параллельными соответственно координатным плоскостям Oxz и Oyz, получаются параболы.

Г

Водонапорная башня

иперболический параболоид, очевидно, определяется уравнением, Плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями симметрии. Ось Oz называется осью гипер­болического параболоида.

По форме и внешнему виду гиперболический параболоид напоминает седло, отсюда и второе его название – «седловая поверхность» (рис.13).

П

Шпиль церкви

оверхности второго порядка также находят широкое применение в нашей жизни. Так, например, для красоты строения многие архитекторы и дизайнеры используют формы поверхностей второго порядка при создании своих объектов. Это и разного рода формы фонтанов, и дизайнерские идеи по интерьеру, и архитектурные решения. Прямолинейные образующие находят применение при строительстве водонапорных башен, высотных радиомачт, телевизионных мачт, маяков и прочих сооружений.