МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»

Филиал в г. Коряжме Архангельской области

И.В.Харитонова

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВ НАГЛЯДНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Курс лекций

Коряжма

2012

Содержание

Лекция 1. Из истории геометрии 9

Лекция 2. Линии и поверхности второго порядка 20

1. Линии второго порядка 20

2. Поверхности второго порядка 25

Лекция 3. Пространственные кривые. Цилиндрические и конические винтовые линии 30

1. Цилиндрические винтовые линии 32

2. Конические винтовые линии 35

Лекция 4. Симметрия в геометрии и природе 36

Лекция 5. Основы топологии 45

Лекция 6. Фракталы 62

Лекция 7. Неевклидовы геометрии 67

1. Геометрия Лобачевского 69

2. Сферическая геометрия 72

Лекция 8. Проективная геометрия 80

Лекция 9. Геометрия в архитектуре 88

Заключение 92

Список используемой литературы 95

Приложение 98

Введение

Окружающий нас мир – это мир геометрии. А.Д. Александров

Математика – одна из древнейших наук. Что изучала и изучает теперь математика? Если спросить об этом у любого человека, то ответы могут быть самыми разными. Для кого-то математика - это только наука о числах, другой ответит, что математика позволяет все просчитать и значительно облегчить нам жизнь. Третьи скажут, что математика - это основа всех наук, позволяющая измерять длину рек, высоты гор, скорость ветров, вероятность выигрыша в сражении, да и много еще что.

Д

Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни. Н.И. Лобачевский

а и саму математику многие считают сложной и трудной для изучения наукой. Одной из причин этого можно определить точность фактов, расчетов: в математике недопустимы даже малейшие ошибки. Другая причина возникающих трудностей – громоздкие формулы, характеризующиеся специфической символикой, явно отличающейся от обыденной. При всем этом не совсем ясно, где полученные знания могут пригодиться в обыденной жизни.

Прежде всего, отметим, что математика, как и другие науки, постоянно развивается, обогащается новыми теориями, меняется в ответ на новые запросы жизни. Объем математических знаний постоянно увеличивается. Открытия, которые делают математики, столь разнообразны, что трудно предсказать, в какой области будет сделано следующее.

Прародителями науки «математики» были две другие известные еще в Древней Греции науки – логика и геометрия. Основные понятия и идеи классической или формальной логикой впервые были изложены в IV веку до н.э. Аристотелем в книге «Ор­ганон». Основным понятием логики является истинное утверждение или высказывание.

И

Аристотель

звестный логический закон исключенного третьего утверждает, что всякое высказывание либо истинно, либо лож­но, третьего варианта не существует. Именно поэтому, если утверждалось, что высказывание «всякая прямая – бесконечна» истинно, то утверждение «прямая имеет край (или конец)», являлось однозначно ложным.

Н а заре своего расцвета и развития геометрия была в значительной степени экспериментальной наукой и имела, в основном, предметный характер, поскольку позволяла проводить расчеты, связанные с измерением длин, площадей, углов, объёмов и т.д. Так появились понятия «точка», «тело», «прямая», «плоскость», «движение», «принадлежность» и т.д.

Е

Евклид

ще в древности геометрия рассматривалась как строго логическая наука, построенная на основе системы аксиом. Ее интересы, направления, постоянно менялись и та геометрия, что зародилась в Древней Греции отличается от современного понимания.

Геометрию можно понимать двояко - наглядно и отвлеченно (то есть абстрактно). В первом смысле объекты изучения мыслятся как непосредственно существующие, например, прямая – это тонкая натянутая нить, точка это след от прикосновения карандаша.

Во втором смысле, они представляют собой некоторые основные объекты геометрии, которые обладают определенными свойствами, и для которых выполняется все то, что утверждается в определенных утверждениях - аксиомах. Именно тогда возникли знаменитые утверждения, связывающие первичные геометрические понятия и считающие­ся бесспорными истинами, относительно выполнимости которых не может быть сомнений.

Именно на этом этапе и произошло слияние логики и геомет­рии, которое зародило математику как науку. Система аксиом геометрии, сформулированная в «Началах» Евклида, стала той системой, исходя из которой стало возможным строить новые истинные высказывания (теоремы), без вся­кой ссылки на опыт и наглядность, используя при этом только логику. Совокупность выведенных из сформулированных ранее аксиом новых теорем составила теорию, которая называется в наше время евкли­довой геометрией.

Г

Август Мебиус

еометрия определяется как наука о пространстве и о расположенных в пространстве фигурах. Некоторые ее определения очевидны, но весьма туманны, например, Евклидовы определения: «линия есть длина без ширины», «точка есть то, что не имеет частей».

Н о все же, геометрия оперирует с простыми, существующими в действительности, предметами. Возьмем, к примеру, геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону. Самое же при этом удивительное, пожалуй, то, что сделать ее своими руками не представляет решительно никакого труда: надо лишь взять полоску бумаги и склеить ее концы, предварительно повернув один из них на 180 градусов. И тогда в Ваших руках окажется лист или лента Мебиуса. Идея этой ленты принадлежит немецкому математику Августу Фердинанду Мебиусу. Линия Мебиуса обладает любопытными свойствами. Если разделим эту линию пополам, разрезав точно посередине, то вместо двух лент получим одну длинную ленту с двумя полуоборотами. Если же разрезать ленту Мебиуса, отступая от одного из краев на треть, то получим две ленты, одна из которых будет снова лентой Мебиуса, а вторая - снова лента с двумя полуоборотами. Вообще, приступая к опытам над лентой Мебиуса, стоит б

Лист Мебиуса

ыть готовым к неожиданным открытиям, настолько удивителен и интересен этот геометрический объект.

В

Лист Мебиуса

разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых все та же односторонняя поверхность. Например, в некоторых магнитофонах были использованы кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается, что значительно увеличило срок службы кассет. Сейчас применение ленты Мебиуса мы видим в одном из видов детского развлечения – американские горки.

Н

Американские горки

Спираль ДНК

аконец, есть предположение о том, что наша Вселенная закручена в ленту Мебиуса. Есть также гипотеза, что спираль ДНК сама по себе является фрагментом ленты Мебиуса, и именно этим объясняется сложность его расшифровки. Такая структура объясняет и причину наступления биологической смерти всего живого – лента замыкается сама на себя, в результате и происходит самоуничтожение.

Л ист Мебиуса является объектом изучения новой ветви геометрии – топологии. Топологию часто называют «резиновой геометрией», потому что в ней любую фигуру можно сгибать, скручивать, растягивать, сжимать, но только не разрезать и склеивать. При этом считается, что свойства фигуры остаются неизменными.

П

Н.И.Лобачевский

омимо топологии и известной со школьной скамьи евклидовой геометрии выделяют и геометрию Лобачевского, это та самая геометрия, где «параллельные прямые пересекаются». Конкретно, в геометрии Лобачевского предполагается, что в данной плоскости к данной прямой через не принадлежащую к этой прямой точку можно провести более одной параллельной прямой. Другая особенность этой геометрии - сумма углов треугольника меньше 180 градусов.

П

Геометрия - это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.

Нильс Г. Абель

роективная геометрия — это другой раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Проективная геометрия отличается от евклидовой геометрии тем, что в ней не используются понятия параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков и углов и предполагается, что любые две прямые на плоскости имеют общую точку, то есть даже параллельные прямые. Тесно связанная с перспективой, проективная геометрия плоскости занимается изучением свойств и отношений, которые остаются неизменными.

Потребность человека в построении проекционных чертежей, возникла первоначально из практических задач строительства сооружений, укреплений, пирамид и т.д., а на позднем этапе - из запросов машиностроения и техники. Теория перспективы и светотени в настоящее время играет большую роль в технологии производства карт при помощи фотографий. Проективная геометрия и связанная с ней теория перспективы и начертательная геометрия необходимы инженеру, создающему что-то новое, и тем, кто осуществляет инженерный проект.

Новые ветви геометрии находят сейчас широкое применение не только в научных трудах, но и в практическом приложении. Пользуясь геометрической теорией, можно решать и такие задачи, как размещение выставочной экспозиции, поиск кратчайшего расстояния, вычисление длины пока еще не существующего моста и многие другие. Находит она применение и в баскетболе, и в футболе, и даже в бильярде.

Геометрия во всех своих разнообразных представлениях является наукой о свойствах пространства, в котором все мы живём. И понятия, которыми она зачастую оперирует, жизненно важны для человека и его существования. Геометрия существует и применяется везде, именно поэтому данная книга посвящена одной из красивых наук. В ней вы не найдете сложных и громоздких расчетов, длинных доказательств, мудреных обоснований. Геометрия – наглядная и простая по своей сути предстанет перед вами.