Тема 5. Финансовая рента

Ряд последовательных финансовых платежей, производимых через равные промежутки времени, называется финансовой рентой или аннуитетом. Это — частный случай потока платежей, все члены которого — положительные вели­чины. Примерами аннуитета могут быть регулярные взносы в пенсионный или другие фонды, выплаты процентов по ценным бумагам, например по акциям, и т.д.

Финансовая рента имеет следующие основные характеристики: член ренты Rj — величина каждого отдельного платежа; интервал ренты τ_j— временной интервал между двумя платежами; срок ренты t— время от начала реализации ренты до момента последнего платежа (бывают и вечные ренты); процентная ставка для расчета наращения или дисконтирования платежей; наращенная будущая сумма ренты S , включающая все члены потока платежей с процентами на дату последней выплаты; современная (приведенная) величина ренты А — сумма всех членов потока платежей, дисконтированная (уменьшенная) на величину учетной ставки на начальный момент времени ренты.

Ренты подразделяются на постоянные, когда члены ренты равны: R/ = R₂ = R₃ = ... = R_n, и переменные. По моменту выплат различают следующие ренты: постнумграндо (обычные), в которых платежи осуществляются в конце соответствующих периодов, и пренумерандо, в которых платежи производят в начале указанных периодов.

Рассмотрим модели потоков ежегодных платежей, с начислением процентов на платежи в конце каждого года (постнумерандо) по сложной процентной ставке.

Сумма первого платежа S₁ с наращенными на него за весь срок-процентами определяем из уравнения

^n-1

где n - количество платежей величиной R.

Для второго платежа, в котором проценты начисляются на один год меньше, соответственно получим

^n-2

Для третьего платежа наращенная сумма составит

^n-3

На последний платеж, произведенный в конце последнего n - го года, проценты не начисляются:

^n-n = R

Тогда для всей наращенной суммы ренты получим

^{n-t n-t}

Коэффициент наращения равен

^n-t

Следует заметить, что этот коэффициент представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где первый член равен b₁ =1, а знаменатель приведем q = (l+i_c) > 1. На этом основании, используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, полученное выражение для наращенной суммы ренты к такому виду

из которого следует, что коэффициент наращения можно определить таким выражением:

Для каждого платежа современное значение определяется формулой

_t

откуда современная приведенная величина всей ренты будет определяться выражением

^-t = a*R

где а является коэффициентом приведения ренты и определяется формулой для суммы геометрической прогрессии с параметрами

в соответствии, с которой находим

следовательно, получим выражение для приведенной величины ренты

Полученные модели позволяют определить, например, величину платежа S

Для определения срока ренты можно получить следующие формулы:

В зависимости от исходных данных при решении каждой задачи формируется соответствующий набор моделей для определения количественных значений показателей контракта.

Пример 5.1

Вкладчик в конце каждого месяца кладет в банк 1000 руб. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной годовой ставке сложных процентов, составляющей 12%. Определить наращенную сумму на счете вкладчика через 2 года.

Решение:

R=l000;n = 24;m= 12;i = 12%/12 = 1 % = 0.01;

S = 1000 * ((1 + 0.01 )²⁴ -1) / 0.01 = 10⁵[( 1.01)²⁴-1] = 100000 [(1.01)²⁴ - 1 ] =

= 100000 [1.2697346 - 1] = 26973 руб. 46 коп.

Если бы вкладчик накапливал долг и не включал в оборот, то наращенная сумма составила бы всего 24000 руб.

Другая задача, обратная этой, заключается в вычислении регулярных платежей финансовой ренты R по заданной наращенной сумме.

Пример 5.2

Вкладчик желает накопить в течение двух лет в банке 30000 руб., производя ежемесячные равные вклады по сложной номинальной годовой ставке 12%. Определить сумму ежемесячного вклада при условии, что проценты начисляются ежемесячно.

Решение:

S = 30000; п =24;j= 12%; i_c= 0,01

Сумма ежемесячного вклада составит:

=

Пример 5.3

Вкладчик намерен положить в банк сумму, чтобы его сын в течение пятилетнего срока обучения мог снимать в конце каждого года, но 10000 руб. и израсходовать к концу учебы весь вклад. Определить сумму вклада, если го­довая ставка сложных процентов составит 12%.

Решение:

Сумма вклада равна современной ценности ренты, состоящей из пяти платежей:

Пример 5.4

Заемщик подучил кредит 3 млн. руб. на 5 месяцев с условием погашения долга в конце каждого месяца равными срочными платежами. На величину долга начисляются сложные проценты по ставке 5% за месяц. Определить сумму срочного платежа.

Решение:

п = 5: А = 3000000 руб.; i_c = 0.05.

Сумма срочного платежа:

Контрольные задания по теме 5

1. Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 30% годовых для создания через 5 лет фонда в размере 600000 руб.

2. Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 20%> годовых для погашения кредита размером 300000 руб. в течение 5 лет.

3. Платежи величиной 5000 руб. вносятся ежегодно в течение 5 лет с начислением на них процента» по сложной ставке 20% годовых. Определить наращенную сумму аннуитета и коэффициент наращения.

4. Фирма взяла кредит в банке 100 млн. руб. сроком на три года под 20% годовых. Определить размер ежегодных платежей.

5. Банк предоставляет фирме кредит в течение 3 лет ежегодными платежами в размере 1 млн. руб. в начале каждого года под процентную ставку 20% годовых. Фирма выплачивает 1. 2 и 1 млн. руб. последовательно, в конце З, 4 и 5 гола. Определить выгоду банка.