Тема 2. Сложные проценты

В финансовых операциях используется схема сложных процентов, если начисляемый процент I (доход от капитала) суммируется с исходным капиталом Р. На следующем этапе процент начисляется уже на новую базу' (Р +I). Этот вариант начисления называют капитализацией, или реинвестированием, или «проценты на проценты».

Тогда к концу первого года накопленная сумма

S₁ =P + Pi_c= P(1 + i_c),

где i_c - сложная ставка. К концу второго года:

S₂ = S₁ +S₁*i_c= S₁(1 +i_c) = P*(l + i_c^)2. К концу третьего года:

S₃= S₂ (1 +i_c) = P*(l + i_c)³

К концу n-го года:

S_n= Р (1 + i_с)- = Р*k_{н c} ,

где к_{n c}- коэффициент наращения по сложной ставке, к_{н c}=(1+ i,)" .

Таким образом, накопление капитала по схеме сложных процентов

образует возрастающую числовую последовательность SO, S1, S2, S3 Sn

которая представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом

b0 = S0 = Р и знаменателем g = 1+ic. В этом случае любой член геометрической профессии находится по формуле

S_n=b0*gⁿ = P(l +i_c^{) n .} Таким образом, получена модель наращения по формуле сложных процентов

S = P(1 +i_c⁾ⁿ =P(1 +i_c^{) t/k =} P* k_{н c},

где t - срок контракта, дни; К - количество дней в году.

Следовательно, можно записать следующие формулы для определения различных показателей:

• величина первоначальной суммы

• относительная величина процентной ставки:

*Данная ставка еще называется эффективной ставкой, характеризующей доходность финансовой операции.

Количество интервалов начисления, лет

Период начисления процентов, дни

Продолжительность года, дни

Коэффициент наращивания

В случае, когда начисление сложных процентов осуществляется через равные промежутки времени n, указывается номинальная годовая процентная ставка j и формула примет следующий вид:

где m -количество интервалов начисления за год;

n - срок контракта, лет.

На практике применяется еще и непрерывное начисление процентов по номинальной годовой процентной ставке j. В этом случае наращенная сумма вычисляется по следующей формуле:

Где выражение , второй замечательный предел. Тогда для определения наращенной суммы имеем формулу:

Где = - коэффициент наращения при непрерывном начислении процентов по номинальной годовой ставке j.

Приведенные модели позволяют проводить вычисления различных показателей финансовых операций.

Пример 2.1

М. Е. Салтыков-Щедрин описывает в «Господах Головлевых» такую сцену: «Порфирий Владимирович ... сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными вкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если б маменька ... подаренные ему при рождении дедушкой .... на зубок, сто рублей ... не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: восемьсот рублей ...».

Определите сложную ставку процентов годовых ломбарда по вкладам, если Порфирию в момент его расчетов было 50 лет. Решение:

n =50, Р=100 руб., S=800 руб. По формуле сложных процентов наращенная сумма равна

S = P*(l+ i_c) ⁿ

откуда ставка сложных процентов составит

Пример 2.2

05.09.98 г. банк заключил с вкладчиком договор срочного вклада на 21 день (срок возврата вклада - 26.09.98 г.). Сумма вклада - 15 тыс. рублей. Процентная ставка - 15%, по условиям договора начисленные по итогам каждого дня срока действия договора проценты увеличивают сумму вклада. Определите сумму, которую получит вкладчик по окончании срока депозита.

Решение:

Полный срок вклада - 22 дня, период начисления процентов - 21 день, проценты начисляются ежедневно и капитализируются, тогда S=15000+(1+(15%/100%)*(1день/365дней))²¹=15129 руб. 99 коп.

Контрольные задания по теме 2

2.1. «Инкомбанк» в январе 1998 г. принимал депозитные вклады. Сроки депозитов -13, 6 и 12 месяцев. Выплата процентов - ежеквартальная. Минимальная сумма вклада: в рублях 1000 руб. - ставка 25% годовых, в валюте 500 долларов США - ставка Р1% годовых. Определить доходность депозитного (вклада и наиболее выгодную операцию для вкладчика, располагающего суммой в 500 долларов США, курс 1 доллар = Р2 руб.

2. . Банк предоставил ссуду в размере (Р3*1000) рублей на 3,5 года под 20 % годовых на условиях полугодового начисления процентов. Определить возвращаемую сумму при различных схемах начисления процентов: простых и сложных.

3. . Малое Предприятие получило кредит на один год в размере (Р1*10000) рублей с условием возврата ((Р1 + 1)*10000) рублей. Определить процентную ставку, если проценты начислялись ежеквартально и причислялись к основной сумме долга.

4. . В страховой фонд производятся взносы в течение Р2 лет, ежегодно по 10000 рублей, на которые начисляются проценты по сложной ставке 30% годовых. Определить наращенную сумму.

5. . Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 30% годовых для создания через РЗ лет фонда в размере 600000 рублей.