3. Системы координат

Пример. Найти расстояние между точками М₁(1, -2, -3) и М₂(-3, 1, 1). Определить координаты точки С, делящей отрезок М₁М₂ в отношении 2:3.

Решение.

1. Используя формулу

М₁М₂ = ,

получим М₁М₂ = .

2. Координаты точки С определим по формуле вида

,

где .

4. Векторная алгебра

4.1. Скалярное произведение векторов

Пример. Найти угол φ между векторами и , если М₁(1, -2, -3), М₂(-3, 1, 1), М₃(3, 2, 2).

Решение. Для нахождения cosφ используем формулу

где - скалярное произведение векторов и .

Определим координаты векторов и cosφ:

= (-3-1, 1+2, 1+3) =(-4, 3, 4), = (3-1, 2+2, 2+3) = (2, 4, 5),

,

φ = 87⁰45'54^".

4.2. Векторное и смешанное произведения векторов

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1, -2, -3), А₂(-3, 1, 1), А₃(4, 3, -1), А₄(3, 2, 2). Найти площадь грани А₁ А₂ А₃ и объем пирамиды.

Решение. Площадь треугольника А₁А₂А₃ найдем, используя геометрический смысл векторного произведения векторов

,

где - векторное произведение векторов.

Вначале находим

,

а затем

ед².

Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов

,

следовательно, ед³.

5. Прямая на плоскости

Прямую на плоскости можно задать многими способами. При решении задач на прямую часто используются следующие типовые уравнения и соотношения:

1. Уравнения прямой с угловым коэффициентом

,

где k – угловой коэффициент ( , - угол наклона прямой к оси Ox), b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(x₀, y₀) c данным угловым коэффициентом k

.

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂)

.

Заметим, что в случае , уравнение принимает вид . Аналогично, если , уравнение прямой записывается .

4. Расстояние d от точки М₀ до прямой определяется по формуле

.

5. Угол , отсчитываемый против часовой стрелки от прямой до прямой , определяется по формуле

.

Из формулы следует:

1) прямые l₁ и l₂ параллельны, если ;

2) прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, если .

6. Уравнения биссектрис углов между прямыми и имеют вид

.

7. Точка пересечения медиан делит любую из них на части в отношении 2:1 (считая от вершины).

Пример 1. Даны две вершины треугольника А(-3,-3) и С(5,1); его биссектрисы пересекаются в точке N(2,2). Найти координаты вершины В и уравнение медианы, проведенной из этой вершины.

Решение. Для нахождения дополнительных точек на сторонах АВ и ВС будем использовать геометрическое свойство биссектрис AN и CN.

1. Составляем уравнение биссектрис AN и CN:

уравнение AN - или ,

уравнение CN - или .

2. Далее рассуждаем так: AN – биссектриса угла А, поэтому на стороне АВ должна лежать точка С₁, симметричная точке С относительно AN. Аналогично на стороне ВС должна найтись точка А₁, симметричная точке A относительно биссектрисы CN. Найдем точки С₁ и А₁.

Составляем уравнение перпендикуляра CF, опущенного из вершины С на биссектрису АN :

, где .

Следовательно, уравнение CF: .

Рис. 1.

Находим координаты точки F пересечения AN и перпендикуляра CF, решая систему

откуда F(3,3).

Определяем координаты точки С₁, учитывая, что отрезок С₁С в точке F делится пополам и, следовательно,

или С₁(1,5).

Поступая аналогично (советуем проделать это самостоятельно), находим точку А₁(1,9).

1. Составляем уравнения сторон АВ и ВС, соответственно,

и

или

и .

2. Находим координаты вершины В, решая систему

из которой следует, что В(2,7).

5. Составляем уравнение медианы ВЕ, предварительно найдя координаты точки Е - середины стороны АС. Имеем

.

Уравнение ВЕ:

или .

Пример 2.

Даны три точки , , на плоскости, являющиеся вершинами треугольника. Требуется написать уравнения сторон треугольника и определить углы треугольника.

Решение. Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

,

а угол между двумя прямыми АВ и АС найдем, записав соответствующие уравнения в виде уравнений с угловым коэффициентом:

,

.

Тогда тангенс угла между указанными прямыми определяется по формуле:

.

При нахождении тангенса может оказаться, что знаменатель равен нулю, то есть . Данное обстоятельство говорит о том, что тангенс не определен, а угол между прямыми равен , то есть прямые перпендикулярны (рис. 2).

Рис. 2.