![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
3. Потенциал Морзе
Для описания механической ангармоничности
применяется множество модельных функций
потенциальной энергии атомов в молекуле.
Все они имеют сходство, обусловленное
их физическим смыслом: резкое возрастание
при стремлении R к
нулю (соответствует отталкиванию ядер
при сближении), минимум при
,
и возрастание до некоторого постоянного
значения энергии диссоциации при R,
стремящемся к бесконечности (ослабление
взаимодействия и последующая диссоциация
молекулы при больших расстояниях между
атомами).
Одним из наиболее применяемых модельных потенциалов является потенциал Морзе [ii]
,
где
энергия диссоциации, отсчитываемая от
минимума кривой потенциальной энергии
и b подгоночный
параметр, задающий ширину потенциальной
ямы. На рис. 3 приведен график данной
потенциальной функции (сплошная линия).
Разложение
потенциала Морзе в ряд по переменной r
около нуля начинается со слагаемого
.
Это гармоническая составляющая потенциала
Морзе (показана пунктирной линией на
рис. 3). Ей соответствует гармоническая
частота колебаний
,
которую можно найти из соотношения
.
(1.2)
На рис. 3 пунктирными горизонтальными
отрезками показаны энергетические
уровни гармонического осциллятора, а
сплошными отрезками – уровни для
потенциала Морзе. Видно, что по мере
увеличения колебательной энергии
энергетические уровни потенциала Морзе
вследствие механической ангармоничности
смещаются относительно уровней
гармонического осциллятора. В отличие
от гармонического осциллятора для
потенциала Морзе разрешены переходы с
Важнейшим преимуществом потенциала Морзе перед другими является существование точного решения уравнения Шредингера [Error: Reference source not found]:
.
(1.3)
Здесь − гармоническая частота колебаний, входящая в формулу 1.2.
Сопоставляя данное выражение с разложением
1.1, устанавливаем, что для потенциала
Морзе параметры ангармоничности, начиная
с ye,
равны нулю, а параметр
связан с xe
и
соотношением
.
Параметр b также
выражается через
r (отклонение от
равновесного расстояния)
0
Рис. 3. Потенциал Морзе (сплошная линия) и его гармоническая составляющая (пунктир). Горизонтальными отрезками обозначены энергетические уровни данных потенциалов.
xe
и
:
.
Таким образом, определив из эксперимента
параметры
и
,
мы можем найти параметры потенциала
Морзе b и
.
Можно записать функцию потенциала Морзе в терминах xe и :
.
(1.4)
Потенциал Морзе позволяет с хорошей
точностью описать ход потенциальной
кривой реальных молекул вблизи минимума
(т.е. около точки r=0).
Однако при
(когда расстояние между ядрами равно
нулю) вместо бесконечно большой
потенциальной энергии потенциал Морзе
дает конечное, хотя и очень большое
значение.
В качестве примера, мы приведем параметры
для свободного иона OH‑ с
=3738.44 см-1
и
=0.0244
[iii]
и для OD‑ с
=2721.3 см-1
и
=0.0176
[iv].
Рассчитанные для OH‑ и OD‑
параметры потенциала Морзе оказались
почти одинаковыми – наибольшая разница
между ними меньше 0.5%. Этот результат
легко объясняется. Действительно,
рассматриваемые ионы отличаются друг
от друга лишь массами ядер водорода H
(состоящими из одного протона) и дейтерия
D (протон + нейтрон).
Электронные конфигурации данных ионов
должны быть эквивалентны с очень большой
точностью, так как нейтрон не имеет
заряда, а гравитационное взаимодействие
между нейтроном и электронами пренебрежимо
мало. Следовательно, потенциальная
функции взаимодействия ядер в ионе OH‑
практически идентична потенциальной
функции OD‑.