§ 97. Преобразование общей декартовой системы координат на плоскости

Рассмотрим на плоскости две общие декартовы системы координат хОу и , имеющие общее начало координат, но разные оси Ох, Оу и , . Пусть в системе хОу масштабные векторы осей Ох и Оу будут соответственно и , а в системе масштабные векторы осей и будут и (см.рис 141).

Рассмотрим произвольную точку М плоскости; пусть х и у – ее координаты в системе хОу а и - в системе . Обозначим через – радиус-вектор точки М, т. е. положим .

Разлагая радиус – вектор точки М по векторам и , а также по векторам и будем иметь:

. (1)

Разложим векторы и по векторам , :

(2)

Подставляя в соотношение (1) вместо и их выражения из формулы (2) получим

С другой стороны, ;

Отсюда и из предыдущего разложения по векторам и в силу единственности разложения вектора по базису находим

,

(3)

Матрица

называется матрицей перехода от системы хОу к системе . Числа, расположенные в первом столбце, являются координатами вектора оси в системе хОу (или в базисе , ), а числа расположенные во втором столбце являются координатами вектора в системе хОу, (или в базисе , ).

Так как векторы и неколлинеарны, то

, (4)

т.е. матрица А – невырожденная.

Обратно, если (4) – любая невырожденная матрица и на плоскости введена общая декартова система координат хОу, то, рассматривая векторы и , определяемые формулами (2) и (3) можно утверждать, что эти векторы неколлинеарны, и интерпретировать соотношения (3) как формулы, связывающие координаты х, у произвольной точки М плоскости в системе хОу с координатами той же точки М в системе с тем же началом координат и масштабными векторами и осей и .

Рассмотрим теперь на плоскости две общие декартовые системы координат хОу и (рис. 142). Обозначим масштабные векторы осей Ох и Оу в системе хОу соответственно через и , а в системе масштабные векторы осей и обозначим соответственно через и . Введем промежуточную систему координат с началом координат в точке , полученную переносом системы хОу. Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системах хОу, и соответственно через х, у; ; . Тогда

, (5)

где и - координаты вектора в базисе , , а и - координаты вектора в базисе ; .

Далее на основания предыдущего пункта II , (6)

где и - координаты начала координат относительно системы хОу. Из формул (5) и (6) находим

(7)

Так как координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала, то старые координаты х, у вектора через его новые координаты при общем преобразовании общей декартовой системы координат имеют вид

(8)