15

Тема 9. Выборочное наблюдение

9.1. Понятие о выборочном наблюдении, его преимущества

Как известно, наблюдение по полноте обхвата изучаемого явления подразделяются на сплошные и не сплошные. Сплошное наблюдение, предполагающее исследование всех без исключения единиц изучаемой совокупности как правило связано с большими трудовыми и материальными затратами, требует большого количества времени , а иногда не может быть осуществимо или не имеет смысла. Нельзя, к примеру, проводить обследование качества изделий сплошным методом, если это связано с их уничтожением (испытание ткани на разрыв, электрических ламп на продолжительность горения). В связи с этим прибегают к несплошному наблюдению, т.е. обследованию лишь некоторой части, по которой можно судить о свойствах всей совокупности. Самым распространенным в статистической практике является выборочный метод. Суть выборочного наблюдения заключается в том, что обследованию подвергается часть единиц исследуемой совокупности, позволяющих по этой части единиц характеризовать совокупность в целом.

Выборочное наблюдение имеет ряд преимуществ и его применение обусловлено многими причинами:

• Быстрота проведения наблюдения.

• Обеспечение возможности лучше организовать наблюдение.

• Исключаются или сводятся к минимуму ошибки наблюдения.

Выборочное наблюдение используется для ускорения обработки материалов сплошного наблюдения, для контроля данных сплошного наблюдения и в тех случаях, когда наблюдение связано с порчей или уничтожением продукции (испытание ткани на разрыв, электрических ламп на продолжительность горения и т.д.).

Этапы работы при проведении выборочного наблюдения:

• постановка цели наблюдения;

• составление программы наблюдения;

• определение процента и способа отбора;

• решение организационных вопросов наблюдения;

• регистрация соответствующих признаков (по программе) в отобранной совокупности;

• обобщение данных наблюдения;

• расчет ошибок выборки;

• пересчет выборочных характеристик для всей совокупности.

9.2. Ошибки выборки

Совокупность, из которой производится отбор, называется генеральной (N – численность генеральной совокупности), а все ее обобщающие показатели – генеральными.

Совокупность отобранных единиц – выборочной совокупностью (n – число отобранных единиц), а все ее обобщающие показатели – выборочными.

Основная задача выборочного наблюдения – на основе характеристик выборочной совокупности (средней и доли) получить достоверные суждения о показателях средней и доли в генеральной совокупности (соблюдение репрезентативности обязательно).

Показатели	Обозначение показателей в
	Генеральной совокупности	Выборочной совокупности
Численность единиц совокупности	N	n
Среднее значение признака
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение		S
Доля	Р	W

Средняя и доля генеральной совокупности будут несколько отличны от средней и доли в выборочной совокупности на некоторую величину (графическая буква МЮ): или , или , где – средняя ошибка выборки.

Интервал , называется доверительным или пределом, в котором заключено значение средней генеральной (или доли генеральной) по выборочным данным.

Величину отклонения или среднюю ошибку выборки можно определить по формулам:

где:

– средняя ошибка выборочной средней и выборочной доли соответственно, р(1-р)=р·q – дисперсия доли или дисперсия альтернативного признака в выборочной совокупности.

Показатели σ р генеральной совокупности нам неизвестны. Но в теории вероятностей доказано, что в случаях, когда объем выборки превышает 30, можно принять, что , таким образом, в практических расчетах средних ошибок выборки можно использовать формулы:

Чтобы определить уровень среднедушевого дохода в городе было обследовано 500 семей. Средний уровень составил 150 грн., дисперсия выборки - 1120, n= 500, = 150, =1120.

Исчислим среднюю ошибку выборки:

Это значит, что среднедушевой доход населения города находится в пределах от 148,5 грн. (105-1,5) до 151,5 грн. (150+1,5).

Однако ошибка выборки имеет определенную вероятность возникновения. Это означает, что средняя в целом по генеральной совокупности, может находиться в указанных пределах, а может и не находиться. Доказано, что степень вероятности отклонения генеральных характеристик от выборочных – постоянная величина 0,683. Это значит, что в 683 случаях из 1000, средняя генеральной совокупности (х) не выйдет за пределы + - . А в остальных 317 случаях может отличаться от на величину, большую чем .

В нашем примере в 683 случаях среднедушевой доход лежит в пределах 148,5<150<151,5. В 317 случаях – может выйти за указанные пределы.

Чтобы повысить вероятность утверждения, можно расширить пределы, увеличив в некоторое количество раз. С увеличением в – t раз, увеличивается степень вероятности наших утверждений. Приведем некоторые известные нам из курса «Математическая статистика» значения вероятностей при разной величине так называемого коэффициента доверия – t.

Значения вероятностей соответствующее коэффициенту доверия

t	вероятность	Т	вероятность	t	вероятность
1,0	0,6827	2,00	0,9545	2,70	0,9931
1,1	0,7287	2,50	0,9876	2,80	0,9949
1,7	0,9109	2,58	0,9900	3,00	0,9973
1,96	0,9500	2,60	0,9907	3,28	0,9990

Выделенные в таблице коэффициенты доверия с соответствующей степенью вероятности часто используются на практике.

Расширив в рассматриваемом примере пределы отклонений в 3,28 раз, получим следующий доверительный интервал:

150-3,28·1,5≤150≤150+3,28·1,5

142,08≤150≤159,92

т.е. в 999 случаях из тысячи среднедушевой доход будет находиться в указанных пределах.

С учетом коэффициента доверия t, доверительный интервал преображается и выглядит следующим образом:

Величина обозначается (греческая буква «дельта») и носит название – предельная ошибка выборки.

Формулы доверительных интервалов имеют вид:

Поступила на склад партия товаров в количестве 20 000 единиц. Выборочному обследованию подвергли качество 200 единиц. Из них 12 – бракованные. Какова доля брака всей продукции?

Мы имеем =200, W=12/200 =0,06. Доля брака в выборочной совокупности – 0,06 или на каждые 100 изделий 6 бракованных. Для определения доли бракованной продукции в генеральной совокупности используем формулу:

Мы получили Р = 0,06 ± 0,0158; или 0,06-0,0158≤ Р ≤0,06+0,0158.

Следовательно, с вероятностью 0,683, можно утверждать, что доля брака во всей продукции находится в пределах от 0,0442(0,06-0,0158) до 0,0758(0,06+0,0158) или в 683 случаях из 1000 процент бракованных изделий в генеральной совокупности будет составлять в среднем от 4,4 % до 7,6 %.

Приведенные формулы для определения величины ошибки выборки дают возможность рассчитывать, какую необходимо взять численность выборки, чтобы ошибка выборки не превышала определенных заданных размеров.

Если то , а ,

т.е. необходимая численность выборки при измерении средней равна среднему квадрату отклонений, деленному на квадрат допустимой ошибки выборки.

Если в формулу ввести коэффициент t, то она примет такой вид:

При выборочном измерении доли признака средняя ошибка выборки определяется по формуле:

, откуда ,

т.е. необходимая численность выборки равна доле, умноженной на дополнение ее до единицы и деленной на квадрат заданной точности.

Если в формулу ввести коэффициент t, то она примет такой вид:

Чтобы определить средний размер платы за 1 м² арендуемой площади, обследовали 40 предприятий, рассчитан средний размер арендной платы – 30 грн. за 1 м². Дисперсия составила – 60. Определить численность выборки, если с вероятностью 0,95 гарантировать, что размер ошибки выборки не будет превышать 1 грн.

Решение:

Из условия мы имеем – 60, Δ = 1. В таблице находим соответствующий вероятности 0,95 коэффициент доверия t=1,96. Для решения воспользуемся формулой:

предприятия.

Из 32 опрошенных предпринимателей высшее образование имеют – 11. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,99 предельная ошибка выборки не превышала 5 % (т.е. 0,05)

Решение:

Для расчета используем формулу:

По данным таблицы находим, что вероятности 0,99 соответствует коэффициент доверия t=2,58, W=11/32, Δ=0,01.

человека.