МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

" ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ"

Графики функций

Учебно-методическое пообие для вузов

Составители:

П.С. Украинский,

А.И. Шашкин,

Э.Л. Шишкина

Издателько-полиграфический центр

Воронежского государственного университета

2011

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 25 мая 2011 г., протокол № 10.

Рецензент д-р физ. мат. наук, профессор А. Д. Баев

Учебно-методическое пособие по дисциплине "Математический анализ" подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета

Рекомендуется для студентов первого курса очной и очно-заочной форм обучения

Для направлений 010400.62 "Прикладная математика и информатика", 010300.62 "Фундаментальная информатика и информационные технологии", 010500 "Математическое обеспечение и администрирование информационных систем", 080500.62 "Бизнес-информатика", 010800.62 "Механика и математическое моделирование".

Оглавление

Часть 1. Построение эскизов графиков функций 4

1. Графики основных элементарных функций 4

1.1. Постоянная и степенная функции 5

1.2. Показательная и логарифическая функции 8

1.3. Тригонометрические функции 9

1.4. Обратные тригонометрические функции 11

2. Элементарные преобразования графиков 12

3. Построение графиков функций, не являющихся элементарными 16

4. Действия с графиками функций 19

4.1. Сложение и вычитание графиков 19

4.2. Умножение и деление графиков 22

4.3. Построение графиков сложных функций 27

5. Графики в полярных координатах 32

5.1. Полярные координаты 32

5.2. Графики кривых в полярных координатах 33

Часть 2. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков 38

1. Признак возрастания и убывания функции 38

2. Локальные экстремумы функции 39

3. Выпуклость функции. Точки перегиба 43

4. Асимптоты 47

5. Порядок построения графика функции, заданной выражением 49

6. Построение графика функции, заданной параметрически 52

6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции 53

6. 2. Асимптоты параметрического графика 53

6. 3. Точки перегиба 53

6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции 54

Список литературы 57

Введение

Методическое пособие составлено из двух частей: в первой части рассматривается построение эскизов графиков функций, во второй - построение графиков функций с использованием техники дифференцирования. Для построения эскизов графиков функций применяются следующие приемы: построение "по точкам", действия с графиками (например, сложение, вычитание, умножение графиков), преобразование графиков.

Часть 1. Построение эскизов графиков функций

В этой части мы будем изучать построение графиков функций, используя наименьшее число вычисление и избегая прямого применения дифференциального исчисления. Такие эскизы иллюстрируют общее поведение функции и полезны при решении различных задач.

В первом разделе этой части мы построим графики основных элементарных функций в прямоугольной декартовой системе координат и отметим некоторые особенности поведения этих функций.

Во втором разделе изучим элементарные преобразования графиков функций, таких как параллельный перенос, поворот, зеркальное отображение, растяжение, сжатие и др.

В третьем разделе построим графики некоторых функций, не являющихся элементарными.

В четвертом разделе разберем как производить сложение, вычитание, умножение и деление графиков, а также как строить график сложной функции.

В пятом разделе мы рассмотрим полярную систему координат и построим в ней графики некоторых функций, наиболее часто встречающихся в приложениях.