Задание 611-620.

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод_ряды_заочМетод.doc

Скачиваний:

Добавлен:

11.11.2019

Размер:

519.17 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Задание 611-620.

Пример 9.

Найти область сходимости ряда .

Решение.

Применим признак Коши

Отсюда видно, что ряд сходится при положительных x и расходится при отрицательных. В точке x=0 этот ряд обращается в числовой ряд

1+1+1+1+…+1+… , который очевидно расходится.

Таким образом, для данного ряда область сходимости представляет собой интервал 0 < x <+ ∞.

Пример 10.

Определить радиус, интервал сходимости и выяснить поведение на концах интервала сходимости степенного ряда

Решение.

поэтому (по признаку Даламбера) данный степенной ряд будет сходиться абсолютно для тех значений, для которых

таким образом .

Следовательно, радиус сходимости R = , а интервал сходимости (– , ).

Теперь исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. В левом конце, при x = – , данный степенной ряд превращается в числовой ряд

который сходится по теореме Лейбница (ряд знакочередующийся, члены ряда монотонно убывают и ).

В правом конце, при x = , получается числовой ряд

Так как последний ряд – знакоположительный ряд, используем предельную форму признака сравнения и сравним со сходящимся рядом :

Таким образом, ряд в правом конце интервала – тоже сходящийся.

Следовательно, интервал сходимости для данного ряда .

Задание 621-630.

Пример 11.

Разложить в ряд по степеням x функцию .

Решение.

Найдем производные функции f(x) и их значения в точке x=0:

Проверим, будет ли выполняться: при .

Для этого оценим абсолютную величину остаточного члена :

Для ряда

при всех x, следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится, а его общий член при (по необходимому признаку сходимости). Поэтому и остаточный член , имеющий модуль, меньший , тем более стремится к нулю при всех x. Таким образом, данная функция раскладывается в ряд Маклорена (т.к. слова «по степеням x» означают, что в формуле ряда Тейлора a=0):

(- ∞ < x < + ∞).

Пример 12.

Разложить в ряд Маклорена функцию , используя стандартные разложения элементарных функций в ряд.

Решение.

Так как

то, заменяя в этом равенстве x на , будем иметь

поэтому

Пример 13.

Разложить в ряд Тейлора функцию по степеням x–1.

Решение.

Разложение функции по степеням x–1 означает, что в разложении в Ряд Тейлора a=1.

Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было использовать разложение функции .

Полагая

из тождества найдем

следовательно,

Заменив x в разложении функции через , получим

Это разложение справедливо, когда

Задание 631-640.

Пример 14.

Вычислить с точностью до 0,001.

Решение.

Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет вид

Интегрируя этот ряд почленно, получим

Полученный числовой ряд – ряд Лейбница. Погрешность от отбрасывания всех членов, начиная с четвертого, будет по абсолютной величине меньше четвертого члена