§3. Функциональные ряды

3.1. Область сходимости.

Пусть дана последовательность функций имеющих общую область определения. Функциональным рядом называется составленное из этих функций выражение

.

Для каждого значения из этой области функциональный ряд обращается в числовой ряд

.

Если этот числовой ряд сходится, точка называется точкой сходимости функционального ряда. Множество всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда. Область сходимости функционального ряда часто находят с помощью описанных выше признаков сходимости.

3.2. Правильная сходимость функциональных рядов.

Функциональный ряд

называется правильно сходящимся на интервале (a, b), если его члены на этом интервале не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов сходящегося числового ряда с неотрицательными членами: , называемого мажорантой данного функционального ряда.

§4. Степенные ряды

4.1. Интервал и радиус сходимости.

Степенным рядом называется ряд вида

,

где - числа (в том числе и 0), называемые коэффициентами степенного ряда.

При степенной ряд имеет вид

.

Этот ряд всегда сходится при x=0. Если же он сходится в точке , то существует число R > 0 такое, что при всех <R степенной ряд сходится, при всех >R он расходится. Число R называется радиусом сходимости, интервал (– R , R ) – интервалом сходимости. Если степенной ряд сходится на всей числовой оси, полагают R = ∞, если же он сходится только при x=0, полагают R = 0. На концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться, внутри интервала сходимости степенной ряд всегда сходится абсолютно. На любом отрезке, принадлежащем интервалу сходимости, степенной ряд сходится правильно.

Одним из распространенных способов определения радиуса сходимости степенного ряда является применение признака Даламбера.

4.2. Ряд Тейлора.

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку a, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора

,

где ( a < ξ < x, n – любое натуральное число).

Если для некоторого значения x при , то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения x в ряд Тейлора

.

В частном случае, при a=0, имеем ряд Маклорена

.

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора для рассматриваемого значения x, если:

1. она имеет производные всех порядков;

2. остаточный член при для рассматриваемого значения x.

4.3. Применение таблицы простейших разложений.

В примере 11 для определения коэффициентов разложения функции в степенной ряд пришлось прибегнуть к многократному дифференцированию, поиску значений производной в данной точке, изучению и оценке остаточного члена. Довольно часто операции последовательного дифференцирования связаны с громоздкими выкладками, а исследование стремления к нулю доставляет еще большие трудности. Эти трудности могут быть иногда обойдены на основании теоремы единственности разложения функции в степенной ряд, позволяющей утверждать, что полученное любым путем разложение функции в степенной ряд будет ее разложением в ряд Тейлора. Для того, чтобы избежать многократного дифференцирования при разложении некоторых функций в ряды Тейлора и Маклорена могут быть использованы стандартные разложения основных элементарных функций в комбинации с правилами действия со степенными рядами.

Особенно часто при этом используют разложения по степеням x (разложения в ряд Маклорена) следующих функций: