
- •Ряды Контрольная работа № 8
- •Санкт-петербург
- •§1. Основные понятия
- •Определения.
- •Необходимый признак сходимости.
- •§2. Признаки сходимости
- •Исследование на сходимость рядов с положительными членами.
- •Признак сравнения.
- •§3. Функциональные ряды
- •3.1. Область сходимости.
- •3.2. Правильная сходимость функциональных рядов.
- •§4. Степенные ряды
- •4.1. Интервал и радиус сходимости.
- •4.2. Ряд Тейлора.
- •4.3. Применение таблицы простейших разложений.
- •§5. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям
- •5.1. Приближенное вычисление логарифмов.
- •5.2. Приближенное вычисление корней.
- •5.3. Приближенное вычисление определенных интегралов.
- •II. Пример выполнения контрольной работы.
- •Задание 591-600.
- •Задание 601-610.
- •Задание 611-620.
- •Задание 621-630.
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
Кафедра «Высшая математика»
Спиридонов Е.И.
Ряды Контрольная работа № 8
Методические указания и контрольные задания
для студентов заочного факультета
Санкт-петербург
2005
В соответствии с рабочей программой в контрольную работу № 8 включены следующие темы:
1. Числовые ряды. Сходимость ряда и его сумма. Необходимое условие сходимости.
Ряды с положительными членами. Признаки сравнения рядов. Признак Даламбера. Интегральный признак.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
2. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов.
Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости.
Разложение функций в ряд Тейлора. Ряд Маклорена для элементарных функций. Применение степенных рядов к приближенному интегрированию функций.
§1. Основные понятия
Определения.
Пусть дана бесконечная последовательность чисел
Числовым рядом называется составленное из этих чисел выражение
,
Числа
называются
членами ряда,
–
общим членом
ряда.
Конечная сумма
называется n-й
частной суммой ряда.
Если существует
конечный предел
,
ряд называется сходящимся,
в противном случае – расходящимся.
Если ряд сходится, число
называется
суммой ряда,
а разность
называется остатком
ряда (после
n-го
члена).
Необходимый признак сходимости.
Если ряд сходится,
то его общий член
стремится
к нулю при
.
Отсюда следует, что если
не
стремится к нулю, то ряд расходится.
Указанный признак
не является достаточным, т.е. если
,
то о сходимости ряда ничего еще сказать
нельзя; он может быть как сходящимся,
так и расходящимся.
§2. Признаки сходимости
Исследование на сходимость рядов с положительными членами.
Признак сравнения.
Если даны два ряда
и
с
неотрицательными членами, причем члены
первого ряда не превосходят соответствующих
членов второго ряда:
,
то: а) из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда, б) из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.
Для сравнения часто используются ряды:
1)
,
<1
– сходящийся (геометрическая прогрессия),
2)
(при
– гармонический ряд)
Предельная форма признака сравнения.
Если и – ряды с положительными членами и существует конечный, отличный от нуля
,
то рассматриваемые ряды одновременно сходятся или расходятся.
Ряды вида
.
Здесь
–
многочлен от n
степени k,
а
–
многочлен от n
степени l.
Вопрос о сходимости рядов такого вида
полностью исчерпывается сравнением с
рядом
,
где
.
Удобнее при этом использовать признак
сравнения в предельной форме.
Признак Коши.
Если для ряда
с
положительными членами существует
,
то этот ряд сходится при l
<1 и
расходится, если l
>1. Если l
=1, то вопрос
о поведении ряда остается открытым.
Признак Даламбера.
Если ряд
с положительными членами таков, что
существует
,
то при l
<1 ряд
сходится, а при l
>1 ряд
расходится. Если l
=1, то вопрос
о поведении ряда остается открытым.
Интегральный признак сходимости.
Если функция f(x)
непрерывная,
положительная, невозрастающая для
и,
начиная с некоторого N,
,
то ряд
и несобственный
интеграл
одновременно сходятся или расходятся.
Рассматривая несобственный интеграл
можно выбирать значение a
любым, не
обращающим первообразную F(x)
в ∞.
Абсолютная сходимость. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов.
В этом пункте рассматриваются ряды с членами, имеющими любой знак.
Если ряд
сходится,
а ряд
расходится,
то ряд
называют
условно
сходящимся.
Если ряд
сходится, то сходится и ряд
,
называемый в этом случае абсолютно
сходящимся.
Ряд
,
где все
,
называется знакочередующимся.
Теорема Лейбница.
Если все члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям
и
,
то такой ряд сходится.
Ряд, удовлетворяющий указанным условиям, называется рядом Лейбница.
Остаток ряда Лейбница
имеет знак своего
первого члена и меньше его по абсолютной
величине, т.е.
.
Это неравенство удобно использовать для оценки погрешности, получаемой при замене суммы S ряда Лейбница ее приближенным значением