Лекция № 9
Тема: Расчет изгибаемых элементов по I-й группе предельных
состояний
Вопросы: 1. Предпосылки расчета прочности нормальных сечений по
предельным усилиям.
2. Расчет прочности нормальных сечений прямоугольного
профиля с одиночным армированием на действие
изгибающего момента.
3. То же, с двойным армированием.
4. То же, таврового профиля
1. Предпосылки расчета прочности нормальных сечений по предельным усилиям . Расчетная схема усилий в нормальном сечении любого симметричного профиля на действие изгибающего момента.
Действующие нормы по проектированию железобетонных конструкций допускают применение метода расчета по предельным усилиям для конструкций массового применения. Данный метод является общим для преднапряженных и ненапряженных ж/б элементов и охватывает как случаи изгиба, так и сжатия и растяжения во всем диапазоне эксцентриситетов приложения продольной силы.
Предельные усилия в сечении, нормальном к продольной оси элемента, определяют исходя из следующих предпосылок:
- рассматривается стадия III НДС, т.е. стадия разрушения;
- сопротивление бетона растяжению принимают равным нулю;
- сопротивление бетона сжатию представляется напряжениями, равными Rb и равномерно распределенными по сжатой зоне бетона;
- деформации (напряжения) в арматуре определяют в зависимости от высоты сжатой зоны бетона;
- растягивающие напряжения в арматуре принимают не более расчетного сопротивления растяжению Rs;
- сжимающие напряжения в ненапрягаемой арматуре принимают не более расчетного сопротивления сжатию Rsс;
- напряжения в преднапряженной арматуре, расположенной в сжатой зоне, принимаются равными
(9.1)
где
-
предельная сжимаемость бетона при
осевом сжатии, равная 210-5
при непродолжительном действии нагрузки
и 2,510-5 – при
продолжительном (т.е. при использовании
коэффициента b2).
В зависимости от величины преднапряжения
этой арматуры ее влияние на работу
сечения в предельном состоянии будет
различным:
1) если к моменту разрушения сечения
предварительные растягивающие напряжения
будут не погашены (
>
),
то арматура
будет
дополнительно сжимать бетон сжатой
зоны - неблагоприятное
влияние;
2) если к моменту разрушения сечения предварительные растягивающие напряжения будут погашены и по величине < , то арматура будет помогать сжатому бетону – положительное влияние;
3) если к моменту разрушения сечения предварительные растягивающие напряжения будут погашены и по величине = , то арматура не будет оказывать никакого влияния на прочность сечения.
Расчетная схема предельных усилий в нормальном сечении элемента любой симметричной относительно плоскости изгиба формы, соответствующая изложенным выше предпосылкам, приведена на рис. 55.
Рис. 55. Схема усилий в нормальном сечении элемента любой симметричной формы:
1 – нормальные трещины; 2 – расчетное нормальное сечение; 3 – сжатая зона сечения;
4 – то же, растянутая; 5 – плоскость изгиба
Расчет по прочности нормальных сечений изгибаемых элементов сводится к решению двух типов задач:
1-й тип – проверка прочности запроектированного (заданного) сечения: по заданным прочностным и деформативным характеристикам материалов, размерам бетонного сечения и площади арматуры определяют минимально возможную (предельную) несущую способность сечения элемента. Несущая способность достаточна, если удовлетворяется неравенство типа
M Mu , (9.2)
где M – расчетный (максимально возможный) изгибающий момент в сечении по результатам статического расчета конструкции;
Mu – предельная (минимально возможная) несущая способность сечения при изгибе.
2-й тип – подбор сечений; состоит в том , что из равенства типа
M = Mu (9.3)
определяют размеры бетонного сечения и площадь арматуры; при этом задаются прочностными и деформативными характеристиками материалов и некоторыми из искомых величин (например, размерами бетонного сечения bh, Rb и Rs).
Рекомендуется проектировать изгибаемые элементы так, чтобы удовлетворялось условие
,
(9.4)
т.е. по 1-му случаю разрушения.
Значение граничной относительной высоты сжатой зоны ξR, при котором предельное состояние элемента наступает одновременно с достижением в растянутой арматуре напряжения, равного расчетному сопротивлению Rs (Rsp), определяют по формуле
,
(9.5)
где εs,el - относительная деформация растянутой арматуры при напряжениях, равных Rs, определяемая по формулам:
- для арматуры с физическим пределом
текучести
;
(9.6)
- для арматуры с условным пределом
текучести
,
(9.7)
где σsp
- предварительное
напряжение в арматуре с учетом всех
потерь и коэффициентом точности натяжения
γsp
=
0,9; 400 - в МПа;
-
относительная деформация сжатого бетона
при напряжениях, равных Rb,
принимаемая равной 0,0035.
Замечание.
В
нормах принято единое обозначение
расчетного сопротивления растяжению
как для напрягаемой арматуры
,
так и для ненапрягаемой
;
в
дальнейшем в тексте тоже будет принято
единое обозначение.
В общем случае (рис. 55) в сечении изгибаемого элемента имеется:
-
в растянутой зоне – ненапрягаемая
арматура
с расчетным сопротивлением
и напрягаемая
арматура
со своим расчетным сопротивлением
(в дальнейшем – тоже обозначается
);
-
в сжатой зоне – ненапрягаемая
с
расчетным сопротивлением сжатию
и
напрягаемая
с расчетным напряжением
.
Для общего случая предельные усилия в сжатой и растянутой зонах сечения будут равны (см. рис. 55):
в
сжатой зоне -
(9.8)
в
растянутой -
.
(9.9)
В выражении (9.9) коэффициент
1 учитывает то
обстоятельство, что к моменту разрушения
сжатого бетона фактические напряжения
в арматуре с условным пределом текучести
могут превышать значение условного
предела текучести.
Для
решения указанных выше задач при принятых
предпосылках достаточно только двух
уравнений равновесия статики:
и
.
Сумму моментов всех сил обычно принимают относительно оси, проходящей через центр тяжести всей растянутой арматуры А
;
(9.10)
тогда условие прочности (9.2) можно записать в виде
,
(9.11)
в
котором правая часть неравенства есть
Mu,
т.е. предельная (минимально возможная)
несущая способность сечения; здесь
- статический момент площади сжатой
зоны сечения относительно вышеупомянутой
оси.
Высоту сжатой зоны x, входящую в условие (9.11), находят из другого уравнения равновесия – в виде суммы проекций всех сил на продольную ось элемента :
,
(9.12)
или
для сечений, разрушающихся по случаю 1
(
):
.
(9.13)
Если в сечении отсутствуют отдельные виды растянутой и/или сжатой арматуры, то в выражениях (9.10)-(9.13) выпадают и соответствующие слагаемые.
Для
случая 2-го, отвечающего условию
(
),
когда разрушение происходит по сжатому
бетону хрупко, а напряжения в растянутой
арматуре не достигают расчетных
сопротивлений
,
высоту сжатой зоны x
также определяют из (9.13), заменяя в нем
на
текущее напряжение
.
Допускается при
определять предельный момент Mu
, принимая в выражении (9.13)
.
2. Расчет прочности нормальных сечений прямоугольного профиля с одиночным армированием (без предварительного напряжения). Если в сжатой зоне арматура отсутствует или не учитывается в расчете (конструктивная арматура), то это будет сечение с одиночным армированием, т.е. арматура имеется только в растянутой зоне. Расчетная схема такого сечения получается из схемы общего случая (см. рис. 55) при исключении из нее соответствующих усилий и приведена на рис. 56.
Рис. 56. Расчетная схема для сечения прямоугольного профиля с одиночным армированием
Обозначения на схеме рис. 56:
M – расчетный изгибающий момент от внешних нагрузок (из статического расчета);
b – ширина сечения; как правило, задаются перед расчетом;
h – высота поперечного сечения; предварительно задаются, затем уточняют;
h0 = h – a - рабочая (полезная) высота сечения; здесь a = ab + d/2 – расстояние от центра тяжести всей растянутой арматуры до крайнего волокна растянутой грани сечения; ab – толщина защитного слоя бетона; d – диаметр рабочей продольной арматуры;
x – высота сжатой зоны бетона;
Nb =Rbbx – равнодействующая сжимающих напряжений в бетоне; Rb – расчетное сопротивление бетона сжатию;
Ns = RsAs – равнодействующая растягивающих напряжений в растянутой арматуре; Rs – расчетное сопротивление арматуры растяжению, As – площадь сечения рабочей растянутой арматуры;
zb = h0 – 0,5x - плечо внутренней пары сил.
Для рассматриваемой расчетной схемы можно составить два уравнения равновесия:
1.
тогда условие прочности (9.2) можно записать следующим образом:
по
сжатому бетону:
(9.14)
по
растянутой арматуре:
.
(9.15)
2.
:
или
(9.16)
Высоту
сжатой зоны бетона найдем из (9.16) 
(9.17)
а относительная высота сжатой зоны
(9.18)
или
(9.19)
где
- коэффициент армирования сечения.
Для того, чтобы разрушение элемента происходило по случаю 1, т.е. начиналось с растянутой арматуры, должно соблюдаться условие
Из
(9.19), принимая
можно найти то наибольшее содержание
арматуры As,
при котором сечение еще может разрушаться
по случаю 1, т.е. пластично
(9.20)
По
формулам (9.14) – (9.18) можно непосредственно
выполнить проверку прочности заданного
сечения (решить задачу 1-го типа), т.е
проверку условия прочности (9.2). Если из
(9.16) окажется
,
то допускается проверку производить
также по (9.14), принимая
.
Расчетные
формулы для подбора требуемой площади
сечения растянутой арматуры получают
преобразованием выражений (9.14) или
(9.15). Подставляя в (9.14)
,
получим
,
(9.21)
откуда
(9.22)
или
(9.23)
здесь
- относительный момент усилия Nb
сжатого бетона;
;
(9.24)
.
(9.25)
Тогда требуемая площадь растянутой арматуры из (9.16) или (9.18)
.
(9.26)
Аналогично преобразуя уравнение (9.15), получим
,
(9.27)
(9.28)
Тогда из (9.26)
.
(9.29)
Полученные формулы справедливы при
.
(9.30)
Максимальный момент, который может воспринять сжатый бетон в сечении с одиночной арматурой из (9.23)
(9.31)
Величины
взаимосвязаны и могут быть представлены
в виде таблицы. Тогда зная одну из них,
по табл. определяется любая другая.