В) Приклади розв’язування задач
Приклад 1. Розв’язати матричну гру геометричним способом.
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
3 |
2 |
1 |
6 |
10 |
|
7 |
2 |
1 |
–5 |
5 |
8 |
|
2 |
1 |
9 |
13 |
4 |
3 |
|
1 |
–3 |
–5 |
–8 |
4 |
5 |
Розв’язання. Спочатку перевіримо, чи має дана гра розв’язок в чистих стратегіях, для цього знаходимо.
Так, як , то гра не має розв’язку в чистих стратегіях, і ціна гри знаходиться в межах .
Спростимо матричну гру, помітивши, що кожний елемент рядка и менший відповідного елементу рядка , тому другий і четвертий рядок можна викреслити.
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
3 |
2 |
1 |
6 |
10 |
|
2 |
1 |
9 |
13 |
4 |
3 |
Далі помічаємо, що стратегія домінує стратегію , , , тобто перший, п’ятий та шостий стовпчики можна видалити. Остаточно отримуємо:
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
1 |
9 |
13 |
Таким чином, гра викресленням заздалегідь невигідних стратегій зведена до гри .
В площині змінних побудуємо графіки очікуваних середніх виграшів першого гравця (рис.1), який застосовує першу стратегію з ймовірністю , а третю стратегію з ймовірністю за умови, що другий гравець відповідає чистою стратегією :
.
Нижня обвідна цього сімейства прямих на малюнку зображена жирною лінією. Найбільшого значення досягає в точці перетину прямих, які відповідають другій і четвертій чистій стратегії другого гравця.
Розв’язуючи систему: , отримуємо . Так як стратегії та , являються заздалегідь невигідними стратегіями, тобто гравець ніколи не буде їх застосовувати в своїй оптимальній змішаній стратегії, тому ймовірність їх застосування відповідно буде дорівнювати нулю, . Отже,
Для знаходження оптимальної змішаної стратегії другого гравця враховуємо той факт, що , так як мінімальний гарантований програш другого гравця дорівнює і досягається на другій та четвертій чистих стратегіях. Прирівнюючи гарантований програш другого гравця значенню , отримуємо систему рівнянь для обчислення оптимальної змішаної стратегії другого гравця
Отже,
Відповідь: ; ; .
Приклад 2. Розв’язати матричну гру геометричним способом.
|
|
|
|
|
|
6 |
8 |
–3 |
0 |
|
–3 |
4 |
5 |
8 |
|
1 |
3 |
4 |
7 |
|
5 |
9 |
1 |
3 |
Розв’язання. Гра не має розв’язку в чистих стратегіях, так як:
Так, як , то гра не має розв’язку в чистих стратегіях, і ціна гри знаходиться в межах .
Спростимо матричну гру, помітивши, що кожний елемент стовпчика більший відповідного елементу стовпчика , тому другий стовпчик можна викреслити. Далі помічаємо, що стратегія домінує стратегію , тобто четвертий стовпчик також можна видалити. Остаточно отримуємо:
|
|
|
|
6 |
–3 |
|
–3 |
5 |
|
1 |
4 |
|
5 |
1 |
Таким чином, гра викресленням заздалегідь невигідних стратегій зведена до гри .
В площині змінних побудуємо графіки очікуваних середніх програшів другого гравця (рис.2), який застосовує першу стратегію з ймовірністю , а третю стратегію з ймовірністю , за умови, що перший гравець відповідає чистою стратегією :
Верхня обвідна цього сімейства прямих на малюнку зображена жирною лінією. Найменшого значення досягає в точці перетину прямих, які відповідають третій і четвертій стратегії першого гравця. Розв’язуючи систему: , отримуємо . Так як стратегії та , являються заздалегідь невигідними стратегіями, тобто гравець ніколи не буде їх застосовувати в своїй оптимальній змішаній стратегії, тому ймовірність їх застосування відповідно буде дорівнювати нулю, . Отже,
Для знаходження оптимальної змішаної стратегії першого гравця враховуємо той факт, що , так як максимальне значення гарантованого виграшу дорівнює і досягається на третій та четвертій чистих стратегіях першого гравця отримуємо систему рівнянь для обчислення оптимальної змішаної стратегії першого гравця
Отже,
Відповідь: ; ; .
Приклад 3. Розв’язати матричну гру геометричним способом.
|
|
|
|
|
|
7 |
–3 |
0 |
1 |
|
3 |
4 |
10 |
12 |
|
2 |
3 |
–4 |
5 |
|
8 |
4 |
3 |
2 |
Розв’язання. Спочатку перевіримо, чи має дана гра розв’язок в чистих стратегіях, для цього знаходимо:
Так як нижня ціна гри не дорівнює верхній, тобто , то дана гра не являється грою з сідловою точкою. Отже, для даної гри не існує розв’язку в чистих стратегіях. Тому будемо шукати розв’язок гри в змішаних стратегіях.
Спростимо матричну гру, помітивши, що стратегія домінує стратегії и , тому перший і третій рядки можна викреслити. Отримуємо матрицю:
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
10 |
12 |
|
8 |
4 |
3 |
2 |
Таким чином, гра викресленням заздалегідь невигідних стратегій зведена до гри .
В площині змінних побудуємо графіки очікуваних середніх виграшів першого гравця (рис.3), який застосовує другу стратегію з ймовірністю , а четверту стратегію з ймовірністю , за умови, що другий гравець відповідає чистою стратегією :
M
N
Нижня обвідна цього сімейства прямих на малюнку зображена жирною лінією, вона містить горизонтальний відрізок, тобто найбільше значення зображується відрізком , паралельним осі , який відповідає чистій стратегії гравця , яка і являється оптимальною для нього, ціна гри . Гравець в цьому випадку має нескінченно багато оптимальних змішаних стратегій: в оптимальній стратегії може змінюватися від до , тобто , , де ,
Відповідь: ; , ,