Лабораторна робота №2
Графічний метод розв’язування матричних ігор. Частина і а) Основні теоретичні відомості.
Означення 1. Вектор, кожна компонента, якого показує частоту (ймовірність) використання гравцем відповідної чистої стратегії, називається змішаною стратегією даного гравця.
З даного означення безпосередньо випливає, що сума компонент вказаного вектора дорівнює одиниці, а самі компоненти невід’ємні.
Таким чином, якщо перший гравець має чистих стратегій, то його змішаною стратегією буде вектор , координати якого задовольняють співвідношення , . Аналогічно, якщо другий гравець має чистих стратегій, то його змішаною стратегією буде вектор , де
Кожний гравець має нескінченну множину змішаних стратегій.
Кожна чиста стратегія являється частинним випадком змішаної, в якій всі стратегії, крім однієї застосовуються з нульовими частотами (ймовірностями), а дана – з частотою 1.
Середня величина виграшу першого гравця в матричній грі виражається у вигляді математичного сподівання:
.
Функція від змішаних стратегій називається платіжною функцією гри з матрицею .
Означення 2. Гарантованим виграшем першого гравця, який обирає змішану стратегію , називається функція .
Означення 3. Гарантованим програшем другого гравця, який обирає змішану стратегію , називається функція .
Означення 4. Оптимальною змішаною стратегією першого гравця називається така його змішана стратегія , при якій його гарантований виграш досягає максимального значення:
Означення 5. Оптимальною змішаною стратегією другого гравця називається така його змішана стратегія , при якій його гарантований програш досягає мінімального значення:
.
Величина називається ціною гри і позначається буквою .
Сукупність оптимальних стратегій і ціна гри складає розв’язок гри.
Теорема 2 (Основна теорема матричних ігор). Будь-яка матрична гра має розв’язок в змішаних стратегіях.
Графічний метод розв’язування матричних ігор 2×n і m×2.
Нехай - платіжна матриця гри . Задача першого гравця полягає в максимізації .
Враховуючи, що , отримуємо .
Таким чином, являється мінімумом n лінійних функцій однієї змінної . Побудувавши для всіх значень графіки цих функцій і потім максимізувавши їх мінімум , отримаємо ціну гри і оптимальну стратегію першого гравця, які визначає верхня точка побудованої нижньої обвідної, яка є графіком функції і має вигляд ломаної.
Аналогічний аналіз може бути зроблений і для ігор .
Б) Питання для самоперевірки.
Що називається змішаною стратегією гравця?
Скільки змішаних стратегій в матричній грі має кожний гравець?
Що таке платіжна функція матричної гри?
Що називається оптимальними змішаними стратегіями?
Коли існує розв’язок матричної гри в мішаних стратегіях?
Чи має матрична гра з платіжною матрицею розв’язок в чистих стратегіях?
Який середній програш буде мати другий гравець в грі з платіжною матрицею , якщо перший гравець буде застосовувати змішану стратегію , а другий – ?
а) ; б) ; в); г) д) ; е)
Який середній виграш буде мати перший гравець в грі з платіжною матрицею , якщо перший гравець буде застосовувати змішану стратегію , а другий – ?
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)
Як зміниться виграш першого гравця, якщо він буде застосовувати свою оптимальну стратегію, а другий гравець відхилиться від застосування своєї оптимальної стратегії?
зменшиться;
збільшиться;
залишиться незмінним.
Як геометрично розв’язують матричну гру, якщо хоча б в одного гравця є тільки дві чисті стратегії?