33

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

МЕТОДІЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ

до виконання самостійних робіт з тем: „Диференційні рівняння вищих порядків”, „Системи диференційних рівнянь”

з курсу “Диференційні рівняння”

для студентів спеціальності 6.040303 „Системний аналіз”

денної форми навчання

2008

Методичні вказівки та завдання до виконання самостійних робіт з тем: „Диференційні рівняння вищих порядків”, „Системи диференційних рівнянь” з курсу “Диференційні рівняння” для студентів спеціальності 6.040303 „Системний аналіз” денної форми навчання / Укл.: А.В. Саранська, О.В.Корнєєва, А.О.Кузьменко. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2008. - 40 с.

Методичні вказівки містять індивідуальні завдання та теоретичні відомості до самостійних робіт з курсу “Диференціальні рівняння”, приклади їх виконання для студентів спеціальності 6.040303 „Системний аналіз” денної форми навчання.

Укладачі: А.В. Савранська, доцент,

О.В.Корнєєва, асистент,

А.О.Кузьменко, асистент.

Рецензенти: О.І. Денисенко, доцент,

В.П. Пінчук, доцент

Експерт: В.Є. Бахрушин, професор

Відповідальний

за випуск Г.В. Корнич, професор.

Затверджено

на засіданні кафедри обчислювальної математики протокол №7 від 16.01.08 р.

ЗМІСТ

1 Самостійна робота №1: Диференційні рівняння вищих порядків. Зниження порядку рівнянь……………………………………………….4

1.1 Індивідуальні завдання…………………………………………….5

1.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №1......................8

2 Самостійна робота №2: Лінійні диференційні рівняння n-го порядку.......................................................................................................12

2.1 Лінійна незалежність функцій. Визначник Вронського.............12

2.2 Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами.................12

2.3 Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами.............14

2.4 Індивідуальні завдання....................................................................16

2.5Приклади виконання задач самостійної роботи №2......................21

3 Самостійна робота №3: Системи лінійних диференційних і рівнянь зі сталими коефіцієнтами.............................................................................25

3.1 Індивідуальні завдання....................................................................27

3.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №3....................32

4 Література...............................................................................................38

5 Вимоги до оформлення лабораторних робіт.......................................39

Додаток А Зразок титульної сторінки лабораторної роботи................40

1 Самостійна робота № 1 Диференційні рівняння вищих порядків. Зниження порядку рівнянь

Диференційне рівняння -го порядку має вигляд

(1.1)

або, якщо воно розв’язано відносно :

(1.2)

Вкажемо деякі види диференційних рівнянь, що допускають зниження порядку:

а) (1.3)

Рівняння розв’язується - кратним інтегруванням;

б) рівняння не містить шуканої функції та її похідних до порядку включно

(1.4)

Порядок можна знизити заміною ;

в) рівняння не містить незалежну змінну

(1.5)

Підстановка дозволяє знизити порядок рівняння на одиницю. При цьому розглядається як нова невідома функції от : . Тоді

,

і т.д.

Підставляючи ці похідні в рівняння (1.5), одержимо диференційне рівняння -го порядку;

г) рівняння

однорідне відносно аргументів , тобто

Порядок цього рівняння можна зменшити на одиницю підстановкою , де - нова невідома функція від : ;

д) рівняння

(1.6)

в якому функція однорідна відносна своїх аргументів , якщо вважати та - першого виміру, а - виміру . Тоді буде мати вимір , - вимір і т.д. Для зниження порядку застосовуємо підстановку , . Після цього отримуємо диференціальне рівняння між і , яке не містить явно , тобто воно дозволяє знизити порядок на одиницю.

1.2 Індивідуальні завдання

1 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

1.2.1	1.2.2
1.2.3	1.2.4
1.2.5	1.2.6
1.2.7	1.2.8
1.2.9	1.2.10
1.2.11	1.2.12
1.2.13	1.2.14
1.2.15	1.2.16
1.2.17	1.2.18
1.2.19	1.2.20

2 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

1.2.1	1.2.2
1.2.3	1.2.4
1.2.5	1.2.6
1.2.7	1.2.8
1.2.9	1.2.10
1.2.11	1.2.12
1.2.13	1.2.14
1.2.15	1.2.16
1.2.17	1.2.18
1.2.19	1.2.20

3 Знайти розв’язок задачі Коші, згідно варіанту:

1.2.1 , ,
1.2.2 , ,
1.2.3 , ,
1.2.4 , ,
1.2.5 , ,
1.2.6 , ,
1.2.7 , ,
1.2.8 , ,
1.2.9 , ,
1.2.10 , ,
1.2.11 , ,
1.2.12 , ,
1.2.13 , ,
1.2.14 , ,
1.2.15 ,
1.2.16 , ,
1.2.17 , ,
1.2.18 , ,
1.2.19 , ,
1.2.20 , ,