Tema_1_1_Lektsiya_1

Розділ 1. Основи двійкової арифметики

Тема 1.1. Подання чисел з фіксованою комою в розрядній сітці

Представлення чисел з фіксованою комою

Зображення числа має постійну розрядність, а положення коми фіксується в визначеному місці відносно розрядів числа [або перед старшим розрядом(рис.1.) або після молодшого(рис.2.)]

Вірний дріб -1<[A_Ф]<1, то А=[A_Ф]К_А

Діапазон чисел від ±(1-2^-31) до ±2^-31

“0”(“+”)→	Знак,	2-1	2-2	2-3	2-4	… … … … …	2-31
“1”(“-”)→
	0	1	2	3	4	… … … … …	31
Рис.1. Числа, які менші одиниці

0.111…1=1-2^-31 – найбільше позитивне число

0.000…1=2^-31 – найменше позитивне число

Діапазон чисел 1≤|x|≤2³¹-1

“0”(“+”)→	Знак	230	229	228	227	… … … … …	20 ,
“1”(“-”)→
	0	1	2	3	4	… … … … …	31
Рис.2. Тільки цілі числа

При виконанні на ЕОМ обчислювань необхідно щоб усі вихідні та отримані дані не виходили за діапазон чисел, які представлені в розрядній сітці. Для цього при програмуванні задачі дані записуються з відповідними масштабними коефіцієнтами.

Використання чисел з фіксованою комою дозволяє спростити схеми ЕОМ, підвищити її швидкодію, але створює труднощі при програмуванні.

Розглянемо задачу вибору коефіцієнту К_А. Нехай маємо цифровий автомат з розрядною сіткою 12 двійкових розрядів.

0,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Потрібно визначити К_А для числа А₁=-1011,0111110 та А₂=0,110001101

Щоб виконувалась умова -1<[A_Ф]<1, потрібно А₁ записати так -0,10110111110*2⁴; тобто [A₁]=1,10110111110 , К_А=2⁴.

К_А1= К_А2, щоб число А₂ було розміщено у 12-розрядній сітці, тобто А₂=+0,0000110001101 або [A₂]=0,00001100011

А1	→	1,	1	0	1	1	0	1	1	1	1	1	0
А2	→	0,	0	0	0	0	1	1	0	0	0	1	1	0	1

З приклада бачимо, що число А₂ записано з погрішністю. Помилка числа з фіксованою комою залежить від вірного вибору масштабних коефіцієнтів.

Кодування знаків і від’ємних чисел

В ККС доцільно представляти знаки за допомогою тих самих символів, які вже використовуються для представлення самого числа в системі числення з основою k. Для цього виділяють додатковий розряд, який має назву знаковий, його зазвичай розміщують зліва віл старшого розряду числа.

Будемо позначати знакові розряди чисел X, Y, Z, … як x₀, y₀, z₀, … та відділяти їх крапкою від цілого числа та комою від дробового числа.

Приклад 1. У 2^й та 2-10^й системах числення знак “-” позначається як “1”, тобто х₀=1, а знак “+” як “0”, тобто х₀=0.

Х→1.101102;

Y→0.10012;

Z→0,101,0112

Алгоритми виконання операцій додавання і віднімання в позиційній системі однорідній системі числення з основою k відповідає відповідним алгоритмам в звичайній десятковій системі числення.

Результати операцій додавання / віднімання цифр х та у в одному розряді представляються двома цифрами:

• цифрою q результат операції у даному розряді;

• цифрою р перенесення в старшому розряді.

Правила формування цифр q та р для будь-якого k можна записати наступним чином.

а) для додавання		б) для віднімання
q = {	x + y, якщо х + у < k	q = {	x - y, якщо х ≥ у
	х + у – k, якщо х + у ≥ k		k + х – у, якщо х < у
р = {	0, якщо х + у < k	р = {	0, якщо х ≥ у
	1, якщо х + у ≥ k		- 1, якщо х < у

Функції q (x, y) та р (х, у) для операцій додавання/віднімання для k =2 можна представити за допомогою наступної таблиці:

а) додавання												б) віднімання
q (x, y)						р (х, у)						q (x, y)						р (х, у)
		Y						Y						Y						Y
	Х	0	1				Х	0	0				Х	0	1				Х	0	1
		1	0					0	1					1	0					0	0

Для вірного виконання арифметичних та інших операцій над числами використовують спеціальні способи зображення чисел: прямий, обернений та додатковий коди. Розглянемо як двійкові числа зображуються цими кодами.

Прямий код.

Вираз для створення прямого коду двійкового числа X = 0, α₁, α₂, α₃ ... α_n має вигляд:

х, якщо х ≥ 0

Х_пр =

1 – х, якщо х ≤ 0

Приклад 2. Х₁ = + 0,1101, Х_пр = 0,1101

Х₂ = -0,10101, Х_пр = 1- (0,10101) = 1,10101

Прямий код використовують для зберігання чисел в ЗП, в пристроях вводу/виводу, а також при виконанні операцій множення.

Обернений код. Вираз для створення цього коду такий

х, якщо х ≥ 0

Х_об =

10 + х – 10 ⁿ, якщо х ≤ 0

Приклад 3. Х = - 0,100110

Х_об. = 10 – 0,100110 – 0,000001 = 1,011001

Порівнюючи число X з його Х_об, можна вивести таке правило: щоб записати від'ємне число в оберненому коді, потрібно у знаковому розряді цього числа поставити „1", а у числових розрядах „0", замінити на „1", а „1" на „0".

Приклад 4. Х = 0,110110, Х_об = 0,110110

Отже, для додатних чисел X = Х_об

Додатковий код. Вираз для створення додаткового коду двійкового числа X:

х, якщо х ≥ 0

Х_дод =

10 + х, якщо х < 0

Приклад 5. X = -0,101010, Х_дод = 10 + (- 0,101010) = 1,010110

Порівнюючи число X з його Х_дод. Можна вивести правило: щоб записати від'ємне число у додатковому коді потрібно його записати спочатку у оберненому коді, а потім до молодшого розряду отриманого результату дописати „1".

Для додатних чисел X = Х_дод

Зворотній та додатковий коди використовуються для заміни операцій віднімання операцією додавання. Що спрощує пристрій арифметичного блоку ЕОМ.

Додавання та віднімання чисел з фіксованою комою

Алгоритм додавання / віднімання чисел з фіксованою комою у прямих та додаткових кодах розглянемо на прикладах.

Приклад 6. х = ±15, у = ±7

а) х + у

Хпрм=	Хдкм=	+	00,01111	=+15
Упрм=	Удкм=		00,00111	=+7
	Z	=	00.10110	=+22

b) х - у

В ідкидається	.	. . . . . .
Хдкм=	+	00,01111	=+15
Удкм=		11,11001	=-7
Zдкм=		00,01000	=+8

с) - х + у ;

Хдкм=	+	11,10001	=-15
Удкм=		00,00111	=+7
Zдкм=		11.11000	→	Zпкм=11.01000=-8

d) -x - y

Хдкм=	+	11,10001	=+15
Удкм=		11,11001	=+7
Zдкм=		11.01010	→	Zпкм=11.10110=-22

Домашнє завдання

1. Представити в форматі з фіксованою комою наступні числа:

А) Х=@+12

Б) У= @+25

де @ - порядковий номер по журналу, або останні дві цифри студентського квитка.

2. Виконати арифметичні операції додавання/віднімання у прямому, оберненому та додатковому кодах:

А) Х+У

Б) Х-У

В) –Х+У

Г) –Х-У