§5.Дії над векторами

а) Добуток вектора на число.

О значення 1. Добутком вектора на число називається вектор , який має довжину і напрям його співпадає з напрямом вектора , якщо і протилежний йому, якщо (мал.12).

У мова (2.6)

є умовою колінеарності двох векторів.

б) Додавання векторів.

Означення 2. Сумою двох векторів і називається вектор , початок якого співпадає з початком вектора , а кінець співпадає з кінцем вектора , при умові що початок вектора співпадає з кінцем вектора (правило трикутника) (мал.13).

Зрозуміло, що вектор в цьому випадку є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і (правило паралелограма) (мал.13).

Д ля векторної суми справедливий переставний закон

Легко переконатися, що для векторної суми має місце сполучний закон. .

Виходячи з означення 2, легко знаходимо суму, наприклад, чотирьох векторів (мал.14).

Вектор сполучає початок першого вектора з кінцем вектора (правило многокутника).

в ) Віднімання векторів.

Дію віднімання векторів можна розглядати як обернену дію щодо додавання векторів.

Означення. Різницею називається вектор , який в сумі з вектором дає вектор (мал.15), тобто

Як видно з мал.15, що одна діагональ є сумою , а друга діагональ є різницею векторів і .

Дамо ще одне означення різниці векторів.

Означення. Різницею двох векторів і , які мають спільний початок, називається вектор , який сполучає кінці цих векторів і напрямлений в сторону зменшуваного.

§6. Проекція вектора на вісь

Н ехай маємо довільну вісь на площині і деякий вектор (мал.16).

Опустимо із початку вектора і з кінця перпендикуляри на вісь . Основами перпендикулярів будуть точки і , які називаються проекціями точок і .

Величина називається проекцією вектора на вісь і позначається , тобто .

Означення 1. Проекцією вектора на вісь називається величина відрізка взята із знаком плюс, якщо напрям відрізка співпадає з напрямом вісі , і з знаком мінус, якщо напрями протилежні.

З точки проведемо пряму, паралельну осі , яка перетне відрізок в точці .Вектор утворює з віссю кут . Величина відрізка дорівнює величині відрізка , а тоді з знаходимо

або (2.7)

Означення 2. Проекція вектора на будь-яку вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між віссю і вектором.

Якщо кут гострий, то проекція додатне число, а якщо кут тупий, то проекція - від’ємне число.

• Властивості проекцій.

1. Якщо вектори і рівні, то величини їх проекцій на одну й ту ж вісь також рівні, тобто

2. Проекція суми векторів на будь-яку вісь дорівнює сумі проекцій доданків на ту ж вісь, тобто

3. Проекція різниці двох векторів на вісь дорівнює різниці величин проекцій на ту ж вісь, тобто

4. Якщо вектор помножений на будь-яке число , то величина проекції вектора на вісь також помножиться на число , тобто