![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 3. Аналитическая геометрия.
- •§ 1. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.1 Прямая линия на плоскости.
- •1.2 Кривые на плоскости.
- •1.3 Кривые на плоскости, заданные параметрическими уравнениями и в полярных координатах.
- •§ 2. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •2.1 Прямая и плоскость в пространстве.
- •2.2. Поверхности и кривые в пространстве.
1.3 Кривые на плоскости, заданные параметрическими уравнениями и в полярных координатах.
Говорят, что на
плоскости введена полярная
система координат,
если заданы точка
,
называемая полюсом,
и исходящий
из полюса луч
,
называемый полярной
осью. Положение
точки
в полярной системе координат определяется
двумя числами: полярным
радиусом
и углом
между полярной осью и вектором
,
называемым полярным
углом.
Полярный угол измеряют в радианах и
отсчитывают от полярной оси против хода
часовой стрелки. Запись
означает, что точка
имеет полярные координаты
и
.
Значение полярного угла, удовлетворяющее
условию
,
называется главным.
В некоторых
случаях
главным
называют значение полярного угла
,
удовлетворяющее условию
.
Если на плоскости
введена декартова прямоугольная система
координат
таким
образом, чтобы её начало совпадало с
полюсом, а положительная полуось
совпадала с полярной осью полярной
системы координат, тогда связь между
декартовыми
и полярными
координатами точки
даётся формулами:
.
Уравнения
,
,
называются параметрическими
уравнениями кривой
в системе координат
,
если для любого значения параметра
точка
и, наоборот, для любой точки
существует значение параметра
такое, что
,
.
Исключением параметра
из параметрических уравнений, уравнение
может быть представлено в виде
.
В задачах 3.58-3.60 построить эскизы графиков кривых, заданных в полярной системе координат уравнениями:
3.58 а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.59 а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.60 а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
В задачах 3.61-3.63 уравнения кривых в декартовых координатах преобразовать к полярным координатам и построить эскизы графиков кривых:
3.61 а)
;
б)
;
в)
.
3.62 а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.63 а)
;
б)
.
В задачах 3.64-3.65 уравнения кривых в полярных координатах преобразовать к декартовым координатам и построить эскизы графиков кривых:
3.64.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.65 а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
В задачах 3.66-3.67 требуется исключением параметра t найти уравнения заданных кривых в виде F(x,y)=0 и построить их.
3.66
а)
;
б)
3.67
а)
;
б)
В задачах 3.68-3.69 построить кривые:
3.68
(арка циклоиды).
3.69
(астроида).
§ 2. Аналитическая геометрия в пространстве.
2.1 Прямая и плоскость в пространстве.
Плоскость
в системе координат
может быть задана уравнением одного из
следующих видов:
1)
- общее
уравнение
плоскости, где
- нормальный вектор плоскости;
2)
- уравнение плоскости, проходящей через
точку
перпендикулярно данному вектору
;
3)
- уравнение плоскости, проходящей через
три точки
,
и
;
4)
- уравнение
плоскости в
отрезках,
где
,
и
- дины отрезков (со знаком
),
отсекаемых плоскостью на координатных
осях
,
и
(знак «
»,
если отрезок отсекается на положительной
части оси и «
»,
если на отрицательной).
Расстояние от
точки
до
плоскости
,
заданной общим уравнением
,
находится по формуле:
.
Угол
,
(
)
между плоскостями
и
,
заданными общими уравнениями, находится
по формуле:
.
,
если
,
если
.
3.70
Написать уравнение плоскости
,
проходящей через заданные точки
и
перпендикулярно заданной плоскости
если: а)
б)
3.71
Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку
параллельно векторам
и
,
если:
а)
б)
3.72 Написать
уравнение плоскости, проходящей через
точки
и
параллельно вектору
,
если:
а)
б)
.
3.73
Написать уравнение плоскости , проходящей
через три заданные точки
если :
а)
б)
3.74
Написать уравнение плоскости, зная, что
точка
служит основанием перпендикуляра,
опущенного из начала координат на эту
плоскость.
3.75
Составить уравнение плоскости: а)
проходящей
через точку
параллельно плоскости
б)
проходящей через начало координат и
перпендикулярной к двум плоскостям:
и
3.76 Написать уравнение плоскости: а) параллельной плоскости
и проходящей через
точку
;
б)
проходящей через ось
и через точку
;
в)
параллельной оси Оx
и проходящей
через две точки
и (5, 1, 7).
3.77 Вычислить отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостями. Построить плоскости.
а)
б)
в)
.
3.78 Через
точку
провести плоскость, которая отсекала
бы на осях координат положительные и
равные между собой отрезки.
3.79 Вычислить углы между следующими плоскостями:
а)
и
б)
и
в)
и
3.80 Вычислить расстояние:
а)
точки
от плоскости
;
б)
точки
от плоскости
;
в)
точки
от плоскости
3.81 Вычислить расстояние между плоскостями:
и
3.82 Найти
точку, симметричную с началом координат
относительно плоскости
3.83
На оси Оz
найти точку,
равноудаленную от двух плоскостей:
и
3,84
На расстоянии трех единиц от плоскости
провести параллельную ей плоскость.
3.85 Вычислить
объем пирамиды, ограниченной плоскостью
и координатными плоскостями.
Прямая в пространстве в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1)
- общее
уравнение
прямой, как линии пересечения двух
плоскостей, где
и
-
нормальные векторы плоскостей
и
;
2)
- уравнение прямой, проходящей через
точку
параллельно данному вектору
(каноническое
уравнение);
3)
- уравнение прямой, проходящей через
две данные точки
,
;
4)
- уравнение
прямой, проходящей через точку
параллельно данному
вектору
,
(параметрическое
уравнение);
Угол
,
(
)
между прямыми
и
,
заданными каноническими уравнениями
находится по формуле:
.
,
если
.
,
если
.
Угол
,
(
)
между прямой
,
заданной каноническим уравнением и
плоскостью
,
заданной общим уравнением находится
по формуле:
.
,
если
.
,
если
.
Расстояние
между параллельными прямыми
и
,
заданными точкой и направляющим вектором
находится по формуле:
.
Расстояние между скрещивающимися прямыми и , заданными точкой и направляющим вектором находится по формуле:
.
3.86
Написать уравнение прямой, проходящей
через две заданные точки
и
,
если :
а)
б)
3.87
Прямая L
задана общим уравнением. Написать для
этой прямой, проходящей через точку
,
её каноническое уравнение, если:
а)
;
б)
.
3.88.Написать
каноническое уравнение прямой, проходящей
через точку
параллельно:
а)
вектору
б)
прямой
в)
оси
г)
оси
д) прямой
;
е) прямой
.
3.89 Задана
прямая
и точка
.
Требуется: а)
написать уравнение плоскости, проходящей
через прямую
и точку
б)
написать уравнение плоскости, проходящей
через точку
перпендикулярно прямой
в)
вычислить расстояние
3.90
Заданы плоскость
и прямая
причем
.
Требуется:
а)
вычислить
и координаты точки пересечения прямой
и плоскости; б)
написать уравнение плоскости, проходящей
через прямую
перпендикулярно к плоскости
3.91
Найти расстояние от точки
до заданной прямой
:
а)
;
б)
.
3.92 При
каком значении
плоскость
будет параллельна прямой
.
3.93 Определить
угол между прямой
и плоскостью, проходящей через точки
,
,
.
3.94 Найти расстояние между параллельными прямыми:
а)
и
;
б)
и
.
3.95 Для
заданных прямых
и
требуется доказать, что прямые не лежат
в одной плоскости, т.е. являются
скрещивающимися и вычислить расстояние
между ними:
а)
и
;
б)
и
.