§3. Основні прийоми інтегрування

1. Метод розкладання: якщо , то , де .

Приклад 3.1.

.

Приклад 3.2.

Якщо , то

.

Приклад 3.3.

.

Приклад 3.4.

2. Інтегрування частинами. Нехай функції і неперервні на деякому проміжку та неперервно диференційовані у його внутрішніх точках. Тоді, враховуючи правило диференціювання добутку двох функцій

та інтегруючи, маємо

або інакше

 формула інтегрування частинами.

Приклад 3.5. Обчислити інтеграл

.

Приклад 3.6.

.

Приклад 3.7.

Результатом застосування формули (3.1) двічі є

.

Звідки

.

Відмітимо, що до цього результату можна було прийти іншим способом, якщо використати формулу Ейлера

.

Первісною для буде

Звідки одержимо також, що

Приклад 3.8.

звідки

.

3. Заміна змінної в невизначеному інтегралі. Якщо на деякому проміжку

,

а функція неперервно диференційовна на проміжку , то

Рівність (3.2) перевіряється прямим диференціюванням правої та лівої частини. Формула (3.2) показує, що коли необхідно знайти первісну для функції , можна діяти наступним чином

,

тобто спочатку зробити заміну під знаком інтеграла і перейти до нової змінної , а потім, коли знайдемо первісну як функцію від , перейти до старої змінної .

Приклад 3.9. .

Нема сенсу використати біном за формулою Ньютона, а потім використати лінійну властивість інтеграла. Краще зробити заміну (підстановку)

.

Тоді

.

Приклад 3.10. .

Тут необхідно спочатку скористатися методом інтегрування частинами, а потім результатами попереднього прикладу.

Приклад 3.11. Обчислити інтеграл .

Зробимо заміну , маємо:

Приклад 3.12.

Враховуючи труднощі знаходження первісних, зібрані таблиці невизначених інтегралів .

Зауваження. Відмітимо інтеграли, які часто зустрічаються при обчислюванні.

Через позначимо многочлен степені , тоді в інтегралах виду

за формулою інтегрування частинами рекомендується завжди брати за многочлен і якщо цю формулу використати разів, то такі інтеграли обчислюються в елементарних функціях.

Аналогічно допускають повне обчислення і інтеграли виду

,

де обов’язково .

Навпаки, не можуть бути представлені через елементарні функції інтеграли

§4 Техніка невизначеного інтегрування

Передусім, відмітимо, що для будь-якого многочлена маємо:

(4.1)

але в багатьох випадках більш раціонально використовувати інші правила, дивись приклади 3.9 , 3.10 і

Приклад 4.1.

.

1. Інтегрування раціональних функцій. Нехай , де многочлени з дійсними коефіцієнтами. Якщо степінь чисельника більша чи рівна степені знаменника (неправильний раціональний дріб), то, виконуючи ділення, перетворюємо до вигляду

,

де степінь вже менша за степінь (правильний раціональний дріб). Як інтегрувати многочлен вже відомо (4.1), а тому будемо інтегрувати правильну раціональну функцію .

Розглянемо спочатку інтегрування простих раціональних функцій. Такими є:

Зрозуміло, що

Таким чином,

.

Розглянемо окремо інтеграл

(4.2)

Якщо , то

.

Нехай тепер . Примінимо до (4.2) формулу інтегрування частинами:

Звідки

Ця формула виражає через та раціональну функцію і називається формулою редукції або рекурентною формулою. Наприклад,

.

Приклад 4.2.

Нехай тепер правильна раціональна функція (нагадаємо: степінь чисельника менша степені знаменника).

Лема. Якщо і , то

,

правильна раціональна функція.

Дійсно,

Ця тотожність вірна для будь-якого . Виберемо так, щоб многочлен ділився на без остатку, тобто

і тоді , значить

.

Нехай тепер має прості дійсні корені , тобто

Тоді

де

Приклад 4.3.

,

де

Тоді

Для інтегрування правильних раціональних функцій можна вказати різні прийоми, ми розглянули зокрема випадок, коли корені знаменника прості та дійсні. У загальному випадку, як правило, пропонують метод невизначених коефіцієнтів, суть якого полягає у наступному. Нехай дійсні корені многочлена кратності відповідно ; комплексні (разом з коренем комплексно спряжена величина також корінь тієї ж кратності). Тоді

де кратність пари комплексно спряжених коренів відповідно.

Вираз, записаний в правій частині, має загальним знаменником (що і зліва), а тому після приведення до загального знаменника маємо рівність двох дробів з рівними знаменниками, звідки слідує рівність чисельників (двох многочленів). Як відомо, рівність двох многочленів означає, що коефіцієнти при однакових степенях зліва та справа співпадають. В результаті отримаємо систему лінійних рівнянь відносно , яка має єдиний розв'язок. Пояснимо все сказане на прикладах.

Приклад 4.4. Розкласти на суму простих дробів

Після приведення до загального знаменника виразу в правій частині, отримаємо

або

Запишемо систему відносно :

Одержали систему з шести рівнянь. Із попередньої леми слідує, що

,

а значить, попередню систему можна скоротити до трьох:

Можна і інакше. Перенесемо доданки, які містять , в ліву частину і спростимо її

Отже,

Приклад 4.5. Найти первісну для функції

.

Передусім, відмітимо, що дріб не є правильним, а тому запишемо знаменник у вигляді

.