2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин.

Определение. Случайная величина F_mn называется распределенной по закону Фишера со степенями свободы m и n, если она представляется в виде

,

где и – независимые случайные величины, распределенные по закону ² с m и n степенями свободы соответственно.

Рассмотрим две независимые случайные величины  и , распределенные по нормальному закону с дисперсиями и , которые предполагаются неизвестными. Пусть в результате наблюдений получены выборка значений x и выборка значений , и – исправленные выборочные дисперсии, соответствующие этим выборкам. Обозначим

и , (1)

тогда и – случайные величины, распределенные по закону ² со степенями свободы соответственно m – 1 и n – 1 (см. § 2, п. 3 (в)). Из независимости  и  следует, что случайные величины (1) также независимы. В соответствии с определением случайная величина

(2)

распределена по закону Фишера со степенями свободы m – 1 и n – 1.

Теперь мы можем построить критерий для проверки гипотезы H₀: .

Если эта гипотеза верна, то из (2) получаем

. (3)

Случайную величину (3) и используют в качестве критерия для проверки гипотезы H₀. Рассмотрим

Случай 1: и заметно различаются и при этом  >  . В этом случае используется альтернативная гипотеза H_А: . Вычисляют , затем по таблице критических точек распределения Фишера по уровню значимости  и числам степеней свободы m – 1 и n – 1 отыскивается критическая точка F_кр(, m – 1, n – 1).

Если F_набл < F_кр, то основную гипотезу принимают; если же F_набл > F_кр, то основную гипотезу отвергают.

Если  <  , то можно аналогично использовать левостороннюю критическую область, но обычно, поскольку таблица не содержит соответствующих критических точек, снова используют правостороннюю критическую область, взяв в качестве критерия обратное отношение .

Случай 2: и различаются мало, тогда в качестве альтернативной берется гипотеза H_А: . По уровню значимости /2 и числам степеней свободы m – 1 и n – 1 (m – 1 – число степеней свободы распределения с бóльшей выборочной дисперсией) ищут ( / 2, m – 1, n – 1), а затем .

Если < F_набл < , основную гипотезу принимают, а при F_набл < или F_набл > ее отвергают.

Пример 1. Получены выборки значений двух независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону. Объемы выборок m  11 и n  14, исправленные выборочные дисперсии и . Требуется проверить при уровне значимости   0,05 гипотезу H₀: D  D при альтернативной гипотезе H_A: D  D.

Здесь . По таблице критических точек распределения Фишера находим (0,025; 10; 13)  3,25, откуда . Так как < F_набл < , то нет оснований отвергать гипотезу о равенстве дисперсий. Другими словами, выборочные дисперсии различаются незначимо.

Пример 2. По двум выборкам, объемы которых m  10 и n  18, найдены исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости   0,05 требуется проверить гипотезу H₀: D  D, взяв в качестве альтернативной гипотезу H_A: D > D.

Здесь критическая область является правосторонней. По таблице критических точек распределения Фишера находим критическую точку: (0,05; 9; 17)  2,50. Поскольку  > , выборочные дисперсии различаются значимо. Гипотеза о равенстве дисперсий отвергается.

3. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормально распределенных случайных величин с равными неизвестными дисперсиями. Пусть нормально распределенные случайные величины  и  независимы и их дисперсии неизвестны. По выборкам малого объема (меньше 30) нельзя получить хорошие оценки дисперсий. Но если предположить, что D  D, то оказывается, что можно построить критерий Стьюдента для сравнения математических ожиданий. (Если нет уверенности, что дисперсии одинаковы, то, прежде чем сравнивать математические ожидания, следует с помощью критерия Фишера предварительно проверить гипотезу о равенстве дисперсий.)

Обозначим D  D  ², M  a, M  b. Пусть получены выборки и значений соответственно x и , и – определяемые этими выборками эмпирические математические ожидания, и – исправленные эмпирические дисперсии. Так как случайные величины x и  независимы, то и также являются независимыми случайными величинами и притом распределенными по нормальному закону. Отсюда следует, что разность распределена по нормальному закону. При этом имеем , , поэтому случайная величина распределена по нормальному закону, причем M₀  0, D₀  1.

Из независимости x и  следует независимость случайных величин и , которые распределены по закону ² со степенями свободы соответственно m – 1 и n – 1 (см. § 2, п. 3 (в)). Следовательно, случайная величина распределена по закону с m  n – 2 степенями свободы (§ 2, п. 3 (б)). Но тогда случайная величина

(4)

распределена по закону Стьюдента с m  n – 2 степенями свободы.

Теперь построим критерий для проверки гипотезы H₀: M  M, т. е. a  b.

Если эта гипотеза верна, то (4) приводится к равенству

. (5)

Случайная величина (5) и является критерием для проверки гипотезы H₀.

Случай 1: альтернативная гипотеза a  b. В этом случае строится двусторонняя критическая область такая, чтобы вероятность попадания значения t в эту область в случае справедливости основной гипотезы была равна принятому уровню значимости .

Поскольку плотность вероятностей распределения Стью­дента – четная функция (см. § 2, п. 3), критические точки симметричны относительно нуля. Поэтому достаточно найти правую критическую точку. Ее находят по таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости  / 2 и k  m + n – 2 ( ).

Если , то основную гипотезу принимают.

Если , то основную гипотезу отвергают.

Случай 2: альтернативная гипотеза a > b. Строится правосторонняя критическая область. Единственную критическую точку находят по уровню значимости  и числу степеней свободы n + m – 2 в таблице критических точек распределения Стьюдента: .

Если , то основная гипотеза принимается.

Если , то основную гипотезу отвергают.

Случай 3: альтернативная гипотеза a < b. В этом случае строится левосторонняя критическая область. Критическая точка .

Если , то основная гипотеза принимается.

Если , то основную гипотезу отвергают.

Пример. В ряде экспериментов исследовалось влияние CaO как активатора расширения ангидритовых растворов. Было изготовлено две серии пробных образцов по 6 штук каждая. Серия 0 (нулевая проба) не содержала CaO; серия 1 содержала 1% CaO. По результатам исследований получено: ; ; , т. е. имеются точечные оценки параметров двух случайных величин: ₀ – расширения раствора, не содержащего CaO, и ₁ – расширения раствора, содержащего CaO.

Выясним, значимо ли различие между обоими средними. Для этого проверим гипотезу M₀  M₁ при уровне значимости   0,05 и альтернативной гипотезе M₀  M₁.

Так как обе выборки имеют малый объем, то сначала нужно проверить гипотезу о равенстве их дисперсий. В этом случае воспользуемся односторонним критерием, так что конкурирующая гипотеза будет иметь вид: D > D По таблице критических точек распределения Фишера по уровню значимости   0,05 и числам степеней свободы находим . Так как , то исправленные выборочные дисперсии отличаются незначимо. Далее вычисляем и по таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости a / 2  0,025 и числу степеней свободы получаем . Так как , то основная гипотеза отвергается, другими словами, различие между средними значимо. Таким образом, влияние CaO как активатора расширения ангидритовых растворов существенно.

4. Эмпирические и теоретические кратности. Пусть имеются основания предполагать, что случайная величина  распределена по некоторому определенному закону. Это предположение можно проверить, сравнивая эмпирические и теоретические кратности. Рассмотрим

Случай 1: предполагаемое распределение дискретно. Пусть в результате n испытаний случайная величина  приняла n_j раз значение z_j ( j  1, 2, ..., m; n₁ + n₂ + ... + + n_m  n). Найдем вероятности p_j значений z_j, считая, что  имеет предполагаемое распределение, и положим ( j  1, 2, ..., m). Числа назовем теоретическими кратностями значений z_j в выборке объема n. Сравнение теоретических кратностей с эмпирическими (наблюдаемыми) кратностями n_j дает возможность принять или отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины  по предполагаемому закону.

Случай 2: предполагаемое распределение является непрерывным. Тогда вероятности отдельных значений x равны нулю. В этом случае промежуток, содержащий все значения , разбивают на m непересекающихся промежутков одной той же длины h и вычисляют вероятности p_j попадания значения  в j-й промежуток, а затем, как и в случае дискретного распределения, сравнивают теоретические кратности с наблюдаемыми кратностями n_j.

В частности, если случайная величина  имеет непрерывную плотность вероятностей f, то, обозначая через y_j и y_j + h концы j-го промежутка, получаем , откуда следует .

Близость теоретических кратностей к наблюдаемым подтверждает гипотезу о предполагаемом распределении случайной величины .

5. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона. Критерий для проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называют критерием согласия. Одним из критериев согласия является критерий Пирсона, который можно применять для проверки различных гипотез о законе распределения случайной величины. Для построения критерия числовая прямая разбивается на несколько промежутков и устанавливается наблюдаемое и теоретическое число значений случайной величины, попадающее в каждый промежуток. Обычно они различаются. Это различие может быть случайным (незначимым) и объясняется либо малым числом наблюдений, либо способом их группировки, либо другими причинами. Может оказаться, что это различие не случайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические кратности вычислены исходя из неверной гипотезы.

Здесь будет рассмотрено применение критерия Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении.

Пусть имеется выборка значений случайной величины  объема n. Отрезок, концами которого являются наименьшая и наибольшая варианты, содержит все числа этой выборки. Разобьем этот отрезок на m частичных промежутков одинаковой длины:

[ y₁; y₂), [ y₂; y₃), [ y₃; y₄), ..., [ y_m–1; y_m), [ y_m; y_m+1] (6)

(общие концы двух соседних промежутков отнесены к правому промежутку). Обозначим через n_j – число элементов выборки, попавших в j-й промежуток (n₁ + n₂ + ... + n_m  n). Поскольку y₁ и y_m+1 – наименьшая и наибольшая варианты, то крайние промежутки последовательности (6) можно заменить промежутками (–; y₂) и [y_m; ), не меняя значений n₁ и n_m. Таким образом, мы получаем последовательность промежутков

(–; y₂), [ y₂; y₃), [ y₃; y₄), ..., [y_m–1; y_m), [y_m; ), (7)

объединение которых – вся числовая прямая. При этом n₁, n₂, ..., n_m являются количествами чисел имеющейся выборки, попавшими в эти промежутки. Наряду с этими наблюдаемыми количествами можно построить теоретические в предположении, что случайная величина  распределена по нормальному закону. Для этого введем в рассмотрение числа (середины промежутков последовательности (6)). Эти числа называют равноотстоящими вариантами, полученными группировкой выборки. Приписывая им в качестве кратностей числа n_j, получим следующий закон распределения

		...
		...

Математическим ожиданием и дисперсией этого распределения являются числа

,

, ⁽⁸⁾

которые называют выборочными математическим ожиданием и дисперсией, полученными группировкой выборки. При большом n эти числа мало отличаются от и .

Рассматривая числа и как приближенные значения математического ожидания и квадратичного отклонения случайной величины  и предполагая, что эта случайная величина распределена по нормальному закону, найдем вероятности того, что ее значения попадают в промежутки (7). По формуле (5) из § 2 Введения получаем

;

при j  2, 3, ..., m – 1;

,

где ; .

Теоретические кратности находят по формуле: .

Рассмотрим теперь случайную величину

,

которая, как доказал Пирсон, распределена по закону ² c m – 3 степенями свободы.

Ясно, что, чем меньше различаются числа n_j и n_j, тем меньше наблюдаемое значение этой случайной величины. Поэтому ее можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении данной случайной величины .

Построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания значения критерия в эту область в предположении справедливости основной гипотезы равнялась принятому уровню значимости . Критическая точка удовлетворяет условию и находится по таблице критических точек распределения ².

Если , то основную гипотезу принимают.

Если , то нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Получена выборка значений случайной величины  объема n  190. Найденные значения распределены по промежуткам следующим образом.

Промежуток	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)	[10; 12)	[12; 14)
Количество	n1  15	n2  26	n3  25	n4  30	n5  26

Промежуток	[14; 16)	[16; 18)	[18; 20)	[20; 22]
Количество	n6  14	n7  16	n8  18	n9  20

Проверим гипотезу о нормальном распределении .

Находим равноотстоящие варианты:

, , , , , , , , .

По формулам (8) получаем  12,6,  4,93.

Вычисление чисел проведено с помощью расчетной таблицы, приведенной на стр. 72.

j	yj		(zj)	pj  (zj+1) – (zj)	 190pj
1	–	–	–0,5	0,0901	17,119
2	6	– 1,34	–0,4099	0,0861	16,359
3	8	– 0,93	–0,3238	0,1219	23,161
4	10	– 0,53	–0,2019	0,1541	29,279
5	12	– 0,12	–0,0478	0,1581	30,039
6	14	0,28	0,1103	0,1446	27,474
7	16	0,69	0,2549	0,1094	20,786
8	18	1,10	0,3643	0,0689	13,091
9	20	1,50	0,4332	0,0668	12,692
10			0,5
		Контроль:

Отсюда следует  20,41, а по таблице критических точек распределения ² (табл. 3) находим . Так как , гипотеза о нормальном распределении  отвергается.

При использовании критерия Пирсона объем выборки должен быть не менее 50 и каждая группа должна содержать не менее пяти чисел выборки.