§ 3. Полные факторные эксперименты типа 2k . Анализ факторных экспериментов

1. Полные факторные эксперименты и кодированные переменные. При проведении экспериментальных исследований часто применяются факторные эксперименты.

Пусть – функция отклика и задан план, матрица которого есть (i  1, 2, ..., k; u  1, 2, ..., N), где – значение переменной (фактора) в u‑м опыте. Каждое из различных значений, принимаемых переменной в эксперименте, называют уровнем этой переменной. Обозначим через s_i число различных уровней фактора X_i.

Определение 1. Эксперимент, в котором уровни каждого фактора комбинируются со всеми уровнями других факторов, называется полным факторным экспериментом.

Полный факторный эксперимент состоит из различных экспериментов, поэтому его называют экспериментом типа .

Определение 2. План называется симметричным, если все факторы имеют одинаковое число уровней, т. е. В этом случае полный факторный эксперимент принято называть экспериментом типа s^k, где k – число факторов.

Предположим, что число различных значений, которые может принимать переменная , в каждом опыте равно 2, т. е. s  2. Тогда говорят, что переменная в каждом опыте варьируется на двух уровнях. Обозначим эти уровни через и . Если , то называют верхним уровнем, а – нижним уровнем фактора .

Обозначим , и введем новые переменные

(i  1, 2, ..., k).

Переменные x_i называют кодированными переменными. Легко проверить, что они могут принимать лишь два значения 1 (верхний уровень) и –1 (нижний уровень). Заменяя переменные кодированными переменными , можно представить функцию отклика в виде

. (1)

2. Полные факторные эксперименты типа 2² и 2³. Если число независимых переменных равно двум, то равенство (1) приводится к виду . Результаты наблюдений, отвечающих всевозможным комбинациям уровней переменных x₁ и x₂, сводятся в таблицу.

Номер опыта				Наблюдения
1	– 1	– 1	1	y1
2	1	– 1	– 1	y2
3	– 1	1	– 1	y3
4	1	1	1	y4

Пусть функция отклика имеет вид

и в каждом варианте испытаний проводится по одному наблюдению. Тогда имеем полный факторный эксперимент типа 2². Матрица плана и матрица планирования:

, .

Столбцы матрицы X попарно ортогональны, следовательно, планирование является ортогональным. Отсюда, используя результаты п. 7 § 1, получаем, что МНК‑оценки параметров некоррелированны и имеют вид

,

где X_j – j-й столбец матрицы Х, при этом .

Пусть теперь число переменных равно трем и функция отклика имеет вид

.

Рассмотрим все возможные комбинации уровней кодированных переменных , и .

Номер опыта								Наблю- дения
1	– 1	– 1	– 1	1	1	1	– 1	y1
2	1	– 1	– 1	– 1	– 1	1	1	y2
3	– 1	1	– 1	– 1	1	– 1	1	y3
4	1	1	– 1	1	– 1	– 1	– 1	y4
5	– 1	– 1	1	1	– 1	– 1	1	y5
6	1	– 1	1	– 1	1	– 1	– 1	y6
7	– 1	1	1	– 1	– 1	1	– 1	y7
8	1	1	1	1	1	1	1	y8

Здесь, как легко убедиться, планирование является ортогональным. Поэтому МНК-оценки параметров _j некоррелированны и имеют вид

,

при этом .

Пример 1. Полный двухфакторный эксперимент проводится на двух уровнях.

Переменные	X1	X2
Нижний уровень	64	45
Верхний уровень	74	85

Получены результаты исследований: , , , .

Для нахождения МНК-оценок параметров ортогонального плана пользуются расчетной таблицей.

i
1	– 1	– 1	1	66	– 66	– 66	66
2	1	– 1	– 1	68	68	– 68	– 68
3	– 1	1	– 1	48	– 48	48	– 48
4	1	1	1	45	45	45	45

С помощью расчетной таблицы получаем требуемые оценки:

; ;

; .

Значит, оценка функции отклика есть

. (2)

Возвращаясь к исходным переменным, имеем:

, , , , значит, , . Подставляя найденные выражения в (2), получаем

  .

Пример 2. Полный трехфакторный эксперимент проводится на двух уровнях.

Переменные	X1	X2	X3
Нижний уровень	12	17	26
Верхний уровень	15	25	30

Результаты исследований: ; ; ; ; ; ; ; .

Составим расчетную таблицу для нахождения МНК‑оценок параметров ортогонального плана.

i	1	2	3	4	5	6	7	8
x1	–1	1	–1	1	–1	1	–1	1
x2	–1	–1	1	1	–1	–1	1	1
x3	–1	–1	–1	–1	1	1	1	1
x1x2	1	–1	–1	1	1	–1	–1	1
x1x3	1	–1	1	–1	–1	1	–1	1
x2x3	1	1	–1	–1	–1	–1	1	1
x1x2x3	–1	1	1	–1	1	–1	–1	1
yi	5,6	7,7	8,1	9,6	8,6	5,1	6,4	6,9
x1yi	–5,6	7,7	–8,1	9,6	–8,6	5,1	–6,4	6,9
x2yi	–5,6	–7,7	8,1	9,6	–8,6	–5,1	6,4	6,9
x3yi	–5,6	–7,7	–8,1	–9,6	8,6	5,1	6,4	6,9
x1x2yi	5,6	–7,7	–8,1	9,6	8,6	–5,1	–6,4	6,9
x1x3yi	5,6	–7,7	8,1	–9,6	–8,6	5,1	–6,4	6,9
x2x3yi	5,6	7,7	–8,1	–9,6	–8,6	–5,1	6,4	6,9
x1x2x3yi	–5,6	7,7	8,1	–9,6	8,6	–5,1	–6,4	6,9

Используя расчетную таблицу, так же, как и в предыдущем примере, получаем требуемые оценки параметров: ; ; ; ; ; ; ; . Следовательно,

. (3)

Возвращаемся к исходным переменным.

; ; ; ; ; , значит, , , . Подставляя эти выражения в (3), получаем окончательно

3. Факторные эксперименты с повторными наблюдениями. Пусть – функция отклика, ; m, m, ..., m – спектр плана (число наблюдений в каждой точке x_l одно и то же и равно m), mn  N. Пусть x_l  (x_1l, x_2l, ..., x_kl) и – повторные наблюдения в точке x_l .

Матрицу плана можно представить в виде матрицы из m блоков следующим образом:

, где .

Таким образом, – матрица размеров с различными строками, – матрица размеров .

Определение. План называется полным факторным планом типа 2^k с повторными наблюдениями кратности m, если матрица является матрицей полного факторного плана типа 2^k.

Пример. Пусть – функция отклика и задан план: , , , , причем в каждой точке число наблюдений m  2. Тогда матрица плана записывается в виде:

, где .

Так как – матрица плана полного факторного эксперимента типа 2², то данный план является полным факторным планом с повторными наблюдениями кратности 2.

Матрица планирования имеет вид

и является матрицей ортогонального планирования.

Если – матрица планирования, соответствующая функции отклика и матрице плана , то из ортогональности планирования для МНК-оценки вектора β имеем равенство , в котором , , а значит, ( j  0, 1, ..., p). В этом случае оценки некоррелированны и имеют дисперсию .