Свойства характеристических функций
1)
,
.
2)
,
где
–
величина комплексно-сопряженная к
.
3) Если
,
то
.
4) Если
–
независимые случайные величины с
характеристическими функциями
,
и
,
то
.
5) Если существует
,
то
Примеры. 1. Случайная величина распределена по биномиальному закону
, 
.
2. Случайная
величина
распределена по закону Пуассона с
параметром
.
3. Случайная величина распределена по показательному закону
с параметром
.
4. Если
.
5. Если
.
6. Если
– распределение Пирсона с n
степенями свободы, то
.
Пример 1. Пусть
принимает значение –1,1 с вероятностями
каждое,
имеет показательное распределение с
параметром
.
Вычислить характеристическую функцию
.
Решение. Характеристическая функция случайной величины , закон распределения вероятностей которой имеет вид
|
–1 |
1 |
|
|
|
равна
.
Характеристическая функция случайной величины равна
(т.к.
,
то
).
Тогда, используя свойства характеристических функций, получим
,
где
характеристическая
функция случайной величины
.
11. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева
Пусть случайная
величина
имеет конечную дисперсию
.
Тогда для любого
справедливо неравенство Чебышева
или
.
Теорема Чебышева
Пусть случайные
величины
независимы, существуют
,
и
,
,
–
некоторая постоянная.
Тогда для любого
.
В частности, если
все
имеют одно и то же математическое
ожидание и дисперсию
,
то
.
Для биномиального распределения
.
Здесь – вероятность появления события в одном испытании, , – общее число испытаний, – число испытаний, в которых событие произошло.
Пример 1. При изготовлении некоторой детали брак равен 5%. Оценить вероятность того, что при просмотре партии в 2000 штук