9. Функции случайных аргументов

Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и случайную величину с плотностью распределения . По определению функция распределения случайной величины равна

.

Рассмотрим уравнение , где –непрерывно дифференцируемая функция и пусть , – функции, обратные и к функции .

Тогда

;

;

;

.

Для случайного вектора с плотностью распределения , если , то .

Примеры. 1. Распределение Пирсона с степенями свободы. Пусть и независимы. Тогда имеет плотность распределения

где – гамма-функция.

, .

2. Распределение Стьюдента с степенями свободы

,

где , , – независимые случайные величины, имеет плотность распределения

;

, , .

Пример 1. Плотность распределения случайной величины равна . Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. 1 способ. Решение задачи располагаем в виде двух столбцов: слева будем писать обозначения функций, принятые в общем случае; справа – конкретные функции, соответствующие данному примеру:

2 способ.

.

Пример 2. Случайная величина распределена равномерно на интервале [0,2].

Функция задана графически

Рис. 3

.

Найти плотность распределения вероятности случайной величины .

Решение.

= = .

= ,

где – функция Хевисайда.

Итак, .

Пример 3. Бросаются 3 монеты. Пусть , если я монета выпала орлом вверх, и в противном случае, . Построить ряд распределения случайной величины .

Решение. 1. Определяем пространство элементарных исходов.

Элементарными исходами рассматриваемого случайного эксперимента являются упорядоченные наборы чисел , где либо нуль, либо единица .

2. Определяем множество возможных значений .

Случайная величина на элементарном исходе ( ) принимает значение .

3. Составляем таблицу элементарных исходов и соответствующих им значений .

	0	1	0	0	1	1	0	1
	0	0	1	0	1	0	1	1
	0	0	0	1	0	1	1	1
	0	1	1	–1	2	0	0	1

4. Определяем вероятности значений и строим ее ряд распределения. Всего элементарных исходов . Следовательно, вероятность элементарного исхода равна . Имеем

	–1	0	1	2

10. Характеристические функции

Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание случайной величины , ,

– вещественный параметр.

Для дискретной случайной величины .

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения

, .