Векторы двумерного подространства.

Двумерное векторное подпространство – это множество всех векторов, параллельных одной плоскости. Базис двумерного векторного подпространства состоит из двух неколлинеарных векторов {е₁, е₂}. Базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единицы, и базисные векторы перпендикулярны. Ортонормированный базис обозначается так: {i, j}

Координатами вектора m в данном базисе называются коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, т.е. если m = х е₁ + у е₂, то числи х и у это координаты вектора m, в этом случае будем записывать

m(х, у).

Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:

Если вектор m= x а + y b и а(а₁,а₂), b(b₁,b₂) m(m₁,m₂)

m₁ =x a₁ + y b₁, m₂ =x a₂ + y b₂.

Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе {i, j} а(а₁,а₂), b(b₁,b₂), то имеют место формулы

_______

a b = а₁ b₁ + а₂ b₂ , │а│= √а₁² + а₂²

______а₁ b₁ + а₂ b₂___

cos (а, b) = √а₁² + а₂² √b₁² + b₂²

66. В правильном шестиугольнике АВСДEF векторы АВ= е₁, АЕ = е₂ выбраны в качестве базисных, Найти координаты векторов АС, АД, АF, EF.

67. В ромбе АВСД векторы АС= е₁, ВД = е₂ выбраны в качестве базисных. Найти координаты векторов АВ, ВС ДА.

68. В треугольнике АВС М, Р, К середины АВ, ВС, СА. Прямые ВК и МР пересекаются в точке О

а) Найти координаты векторов СМ, ОВ, КМ, СВ, РС, АР в базисе ОС = е₁, ОМ = е₂.

б) Найти координаты векторов СМ, ОВ, КМ, СВ, РС, АР в базисе КС = е₁,

КР =е₂.

69. На плоскости даны векторы а(2,1), в(1,0). Найти коэффициенты разложения вектора с(9,1) по векторам а и в.

70. Даны векторы а(3,-2), в(-2,1), с(-9,6).Можно ли каждый из этих векторв разложить по двум другим ?

71. Даны векторы а(3,-1), в(1,-2), с(-1,7) Определить коэффициенты разложения вектора р = а + в + с по векторам а и в.

72. . Даны векторы а(2,3), в(1,-3), с(-1,3). Существует ли коэффициент х, для которого векторы а + хв и а + 2с коллинеарны ?

73. В треугольнике АВС АВ(1,3), АС(2,1). АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медианы треугольника АВС, определить координаты этих трех векторов, АМ₁, ВМ₂, СМ₃

74. Даны векторы. а(-1,-2), в(3,-5), с(4,-3). Существует ли треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны по длине данным векторам ?

75. Дан базис i, j. Найти координаты векторов а и в, если а) |а| =3,

( i,а) = 30°, б) |в| =5, ( i,в) = 135°.

76. Дан ортонормированный базис. а(1,0), в(2,2), с(4,-4). Найти углы между парами этих векторов.

77. АМ – медиана треугольника АВС. Найти длину ВМ и угол АМС, зная координаты АВ(4,6), АС(8,-4) в ортонормированном базисе.

78. АН – высота треугольника АВС. Найти длину АН, зная координаты АВ(1,-1) и АС(-2,1) в ортонормированном базисе.

79. Дан базис (е₁, е₂). Зная координаты векторов а(а₁,а₂) и в(в₁,в₂), длины базисных векторов и угол между базисными векторами. , найти скалярное произведение а в.

80. В треугольнике АВС А = 120°, |АВ|= 2, |АС|= 1. Найти длину высоты АН.

81. В треугольнике АВС А = 90°, |АВ|= 2, |АС|= 3. Найти длину биссектрисы АД.