- •Тема 1. Векторная алгебра
- •Первый теоретический опрос.
- •Второй теоретический опрос.
- •Системы линейно зависимых и линейно независимых векторов. Координаты вектора в данном базисе
- •Нахождение координат вектора в данном базисе
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторы двумерного подространства.
- •Решение задач элементарной геометрии с помощью векторов
- •Примерные варианты самостоятельной работы (на 45 мин.)
- •Ответы к задачам темы 1
- •Тема 2. Метод координат на плоскости
- •Координаты точек на плоскости. Решение простейших задач в координатах.
- •Простое отношение трех точек. Формулы деления отрезка в данном отношении.
- •Ориентация плоскости. Угол между векторами на ориентированной плоскости.
- •Полярная система кординат
- •Окружность
- •Задачи на множества точек, определяющих окружность
- •Примерные варианты самостоятельной работы (на 45 мин.)
- •Ответы и указания к задачам темы 2
Ответы и указания к задачам темы 2
91. АВ(1,6), ВС(1,-1), М(11,1), К(0,7).
92. (2,1), (2,-1), (-2,-1), )-2,1).
93. 1) (-4,-4), (4,-4), (4,4), (-4,4).
2) С(4 ,0), В(0, 4 ), А(-4 ,0), Д(0,- 4 ).
3) А(-4,0), В(4,0), С(4,8), Д(-4,8)
94. А(0,0), В(1,0), С(3/2, ), Д(1, ), Е(0, ), F(-1/2, ).
95. А(-5,0), В(-5 + 2 , 2), С(5 - 2 , 2), Д(5,0).
98. Д(1,-2)
99. 1) 1, 2) , 3)13.
100. 1) , 2) 5, 3) 13.
101. (14,0), (0, 14/3).
102. (7,0), (-17,0), (0, 9 + 10 ), (0, 9 - 10 ).
103. 1) равносторонний, 2) равнобедренный, 3) прямоугольный.
104. Существует два квадрата АВС1Д1 и АВС2Д2. С1(1,8), Д1(-4,6),
С2(5,-2), Д2(0,-4).
105. Существует два треугольника АВС1 и АВС2.
С1(-1 - , 3 + 2 ), С2(-1 + , 3 - 2 ).
106. (2,10). Указание. Так как ось ОХ касается окружности в точке В, то
х = 2, далее воспользоваться тем, что АМ = ВМ.
107. А(1,0), В(1/2, ), С(-1/2, ), Д(-1,0), Е(-1/2, - ), F(1/2, - ).
108. 1) 2/3, 2) С(7/5, 1/5)
109 .1) -1/2, 2) -3/2, 3) - 4, 4) -5/6, 5) 1/4 .
110. А( 17/3, 16/3), М(-25/3, 4/3)
111. А(7,11)
112. 1) А1(2,-1), В1(1,-5), С1(3,1), 2) Р(2,-2), 3) М(2, - 5/3).
113. С(-3,-5).
114. .
115. А(-2,-6), В(8,2), С(-6,10).
116.С(21/2, 10), Д(4,-3).
117. (10/3, 17/3). Указание. Сначала найти координаты точки Д, для этого воспользоваться свойством биссектрисы АД треугольника АВС:
ВД : ДС = АВ : АС и значит (АВ,Д) = АВ : АС.
118. .
119. (2,-2).
120. (2,3). Указание. Пусть Н(х,у). Т.к. АН – высота треугольника АВС, то
АН ВС = 0, а т.к. Н ВС, то ВН ││ВС.
В( 6,5), Д(0,-3).
122. 1) и 2) положительная ориентация, 3) отрицательная ориентация.
124. – 68/25.
125. 1), 4) – левый базис, 2), 3) – правый базис.
126. Ι│ΙΙ = 1, ΙΙ – правый базис.
127. Ι│ΙΙ = -2, ΙΙ│ΙΙΙ = -1, Ι│ΙΙΙ = 2.
128. 1) 135°, 2) - 45°, 3) -30°.
129. 1) АВС, 2) САВ.
130. 1) (3 /2, 3/2). 2) (- 5 /2, 5 /2), 3) (1/2, - /2).
132. 1) А1(1, -3π/4), В1(3, - π/3), С1 (2/3, 5π/6),
2) А2(1, -π/4), В2(3, - 2π/3), С2 (2/3, π/6).
133. 1) А( , 0), В( , 2 π/3), С( , - 2 π/3).
2) А: ρ = 0, φ не определен, В(1,0), С(1, π/3).
134. 1) А( , π/4), В( , - π/4), С( , - 3 π/4), Д( ,3 π/4).
2) А: : ρ = 0, φ не определен, В(3, π/2), С(3 , π/4), Д(3,0).
135. 1) А(2,0), В(2, π /3), С(2, 2 π/3), Д(2, π), Е(2, -2 π/3), F(2, - π/3)
2) А: ρ = 0, φ не определен, В(2, π/3), С(2 , π/6), Д(4,0),
Е(2 , - π/6), F(2, - π/3).
136. 1)Окружность с центром О и радиусом 1,
2) Окружность с центром О и радиусом а,
3) Открытый луч с началом О, образующий с полярной осью
угол π/6.
137. 1) А(5/2, 5 /2), В(0,1), С( - /4, /4).
2) М(6, π/2), Р( ,3π/4), К(2, π/6).
138. 1) , 2) 10, 3) 5.
141. ρ2 -2ρ Sinφ – 8 = 0
142. 1) Прямая, перпендикулярная полярной оси и проходящая через
точку с полярными координатами (2,0),
2) Окружность радиуса 5 с центром (5, π/2),
3) Прямая, параллельная полярной оси и проходящая через
точку (1, π/2).
4) Две прямые, проходящие через начало полярной системы
координат и образующие с полярной осью углы π/4 и 3 π/4.
143. 1) φ = arctg 1/3
2) ρ Sin φ + 5 = 0,
3) ρ2 (1 + Cos 2φ) = 5,
4) ρ2 Sin2φ - 4 ρ Cos φ = 0
144. А(-5,4), В(-12,5), С(-7,3).
145. х = - х ٰٰ+ 1, у = - х ٰ- ½ у ٰ + 1.
146. 1) х = - 7у ٰ , у = 2х ٰ + 2
2) х = х ٰ+ 2у ٰ+ 1, у = 4х ٰ+ 3у ٰ + 1.
147. х = - х ٰ- 2у ٰ+ 1, у = х ٰ- у ٰ .
148. х = х ٰ- 1, у = - ½ х ٰ+ ½ у ٰ + ½ Указание. Сначала составить формулы
преобразования координат при переходе от системы ΙΙ к системе Ι, а
.затем из этих формул выразить х и у.
149. (- 17/7, - 2/7).
150. х = - ½ х ٰ- ½ у ٰ + ½, у = х ٰ+ 1.
151. 1) х = х ٰ- у ٰ- 3, у = х ٰ+ у ٰ + .
2) х = х ٰ+ ½ у ٰ, у = ½ х ٰ- у ٰ – 2.
152. (5/2, 9/2).
153. Все точки прямой х + у – 2 = 0.
154. (-2,-1).
155. (-2, -5).
156. (0,1).
157. х = х’ + у’ + , у = - х’ - у’ + .
158. (х + 1)2 + (у – 3)2 = 16.
159. х2 + у2 = 25..
160. 1) М(3,0), r = 3, 2) М(-3,4), r = 5, 3) М(5, -12), r = 15,
4) М(-1, 2/3), r = 4/3.
161. 1) Окружность с центром (1, -2) и радиусом r = 5.
5) Окружность с центром (1, 0) и радиусом r = 1
7) Окружность с центром (2,1) и радиусом r = 2
Остальные уравнения не определяют окружность..
162. Точки А, С, Д лежат вне окружности, точка В на окружности.
163. 1) Точки находятся вне или на окружности с центром (1,3) и
радиусом r = 5.
2) Точки расположены между двумя концентрическими
окружностями и на самих окружностях, радиусы которых
равны 4 и 5, а их общий центр (1, -3),
3) Точки принадлежат общей части двух кругов и границе кругов,
центры которых в точках (1,2) и (4,6) и радиусы равны 5 и 3.
(х -6)2 + (у – 5)2 = 25.
х2 + (у – а)2 = а2, а ≠ 0.
(х – 3)2 + (у + 4)2 = 25.
(х – 1)2 + (у + 3)2 = 68.
(х – 3)2 + (у – 2)2 = 26 и (х + 3)2 + (у – 6)2 = 26.
(х – 2)2 + (у – 3)2 = 1. Указание. Так как центр М окружности лежит на прямой 3х –у – 3 = 0, то М имеет координаты М(х, 3х – 3).
(х + 3)2 + у2 = 8.
Пусть │АВ│= 2а . а) Если с2 >2а2 , то искомое множество есть окружность с центром в середине АВ, б) если с2 = 2а2, то искомое множество есть одна точка – середина АВ, в) если с2< 2а2, то искомое множество есть пустое множество.
х2 + (у – 3)2 = 9.
Окружность с центром в точке пересечения данных прямых и радиусом 4. Указание. Рассмотреть прямоугольную декартову систему координат, оси которой совпадают с данными прямыми.
Прямая с уравнением х = 9/4.