Задача №22

Для двухцепной линии электропередачи (рис. 21) известны вероятности отказа каждой цепи: q₁ = q₂ = 0,001. Определить вероятности того, что линия будет иметь стопроцентную пропускную способность – Р(R₁₀₀), пятидесяти процентную пропускную способность - Р(R₅₀), и вероятность того, что система откажет – Q.

Линия имеет стопроцентную пропускную способность, когда работоспособна и 1-я и 2-я цепь:

Р(100%) = р₁р₂ = (1 – q₁)(1 – q₂) = (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.

Линия отказывает, когда отказывает и 1-я и 2-я цепь:

Р(0%) = q₁ q₂ =0,001∙0,001 = 10^-6.

Линия имеет пятидесяти процентную пропускную способность, когда работоспособна 1-я цепь и отказала 2-я, или когда работоспособна 2-я цепь и отказала 1-я:

Р(50%)= р₁q₂ + р₂ q₁ = 2∙0,999∙10^-3 = 0,001998.

В последнем выражении использована формула сложения для несовместных событий, каковыми они и являются.

События, рассмотренные в этой задаче, составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей составляет единицу.

Задача №23

Для повышения надежности системы основной прибор резервируется N–1 таким же прибором. Вероятность безотказной работы каждого прибора равна р.

Сколько необходимо взять приборов для того, чтобы обеспечить заданный нормативный уровень надёжности системы – Р_Н. Переключающие устройства можно считать абсолютно надёжными.

Решение.

Рассматриваемая система на логической схеме анализа надёжности должна быть представлена в виде N элементов, соединенных параллельно (рис. 22).

Вероятность безотказной работы такой системы

Pc = 1 – Qc = 1 ‑ (1 ‑ p)^N.

При создании высоконадёжных систем (обычно они требуются с целью обеспечения безопасности людей) задаётся их нормированный уровень надёжности (Р_Н). Обычно он весьма высок – 0,999 и выше в зависимости от степени ответственности системы. Расчетная вероятность безотказной работы системы не должна быть ниже нормированной Рс Рн .

1 ‑ (1-p)^N ≥ Рн;

1 – Рн ≥ (1-p)^N

(1-p)^N ≤ 1 – Рн

N lg(1-p) lg(1 ‑ Рн);

N .

В последнем выражении знак неравенства изменился на противоположный, так как разность 1-р меньше единицы, а логарифм такого числа отрицателен. При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется.

Задача №24

В электрическую цепь параллельно включены 3 элемента. Вероятности отказа элементов в течении заданного времени соответственно равны: q₁ = 0,2, q₂ = 0,3, q₃ = = 0,4. Определить вероятность отказа хотя бы одного элемента в течение того же периода времени.

Решение.

Обозначим событие, заключающееся в появлении отказа хотя бы одного элемента, как А. Его можно представить в виде суммы трех событий: произошёл отказ одного элемента, отказали два элемента и отказали три элемента. Это позволит в дальнейшем для нахождения вероятности события А использовать формулу сложения для трёх несовместных событий, предварительно найдя вероятность каждого из них.

Но гораздо проще будет от события А перейти к противоположному событию – не произошло ни одного отказа. Тогда событие есть произведение трех независимых событий: не отказал 1-й элемент, не отказал 2-й элемент, не отказал 3-й элемент.

По правилу умножения для независимых событий имеем:

Р( ) = (1 – q₁)(1 – q₂)(1 – q₃), откуда

Р(А) = 1 – Р( ) = 1 – (1 – q1)(1 – q2)(1 – q3) = 1 – 0,8∙0,7∙0,6∙= 0,664.