Задача №26

Студенту предложены на выбор три билета. Вероятность того, что он успешно сдаст экзамен, если возьмет первый билет, равна 0,9; если второй ‑ 0,5; если третий ‑ 0,2. Определить вероятность события А, заключающегося в том, что студент успешно сдаст экзамен.

Решение.

Используя формулу полной вероятности, имеем:

Р(А) = = ∙0,9 + ∙0,5 + ∙0,2 = 0,533 ,

где P(Hi) – вероятность того, что студент возьмет i–й билет, равная во всех случаях 1/3;

P(A/Hi) – вероятность того, что студент сдаст экзамен, если возьмет i–й билет.

Задача №27

Кабельная линия в течение 70 % времени работает с номинальной нагрузкой, при этом вероятность ее выхода из строя равна 0,2; в остальное время линия работает с перегрузкой, когда вероятность выхода ее из строя равна 0,7. Определить вероятность безотказной работы линии в течение всего срока эксплуатации.

Решение.

Линия будет работать безотказно при обязательном выполнении одного из двух условий (гипотез), образующих полную группу событий, – нагрузка линии номинальная, или линия перегружена. Вероятности гипотез равны 0,7 и 0,3. Условные вероятности безотказной работы линии при выполнении гипотез соответственно равны 0,8 и 0,3. По формуле полной вероятности:

Р(А) = 0,7∙0,8 + 0,3∙0,3 = 0,65.

Формула Бейеса. Задача №28

Известно, что схема мостика (рис. 23) работоспособна. Определить вероятность того, что при этом элемент 4 работоспособен, а элемент 1 отказал.

Для решения подобного типа задач используется формула Бейеса, предназначенная для перерасчета вероятностей гипотез после того, как результат опыта стал известен. Эта формула позволяет найти вероятность гипотезы при условии, что событие произошло: Р(Н_i/А)= = .

Решение.

В задаче известно, что система работоспособна. Это позволяет пересчитать вероятности гипотез. Например, 4-я гипотеза (табл. 1) при работоспособной в целом системе не может иметь места. Система работоспособна при работоспособном элементе 4 и отказавшем элементе 1 (это соответствует гипотезе №3) с вероятностью:

P(H₃/A) = .

Задача №29

При коротком замыкании на выводах низкого напряжения трансформатора срабатывает максимально‑токовая защита (МТЗ) с вероятностью 0,8, а дифференциальная защита (ДЗ) - с вероятностью 1. На подстанции обязательно предусмотрен только один из этих двух видов защит, причем, вероятность установки МТЗ равна 0.6. Известно, что произошло отключение трансформатора релейной защитой. Определить при этом условии вероятность того, что подстанция оснащена МТ3.

Решение.

Используя формулу Бейеса, находим вероятность того, что защита сработала благодаря установленной на подстанции МТЗ:

P(H₁/A) = = = 0,545,

г де гипотезы H₁ и Н₂ – подстанция оснащена соответственно МТЗ и ДЗ;

Р(Н₁) = 0,6 и Р(Н₂) = 0,4– вероятности гипотез до опыта;

Р(А/Н₁) = 0,8 и Р(А/Н₂) = 1,0 – вероятности того, что защита сработает, если подстанция оснащена соответственно МТЗ и ДЗ.

Задача №30

Слепой путник без поводыря вышел из пункта В в пункт А (рис. 25), выбирая дороги произвольным образом. Обозначим события Н₁, Н₂, Н₃, A ‑ путник пришел в соответствующие пункты. Требуется установить верное соотношение между вероятностями гипотез (путник шел через пункт Н₁, Н₂ или Н₃), вычисленным до проведения опыта и после его проведения (когда известно, что путник пришел в пункт А).

Решение.

Вероятности гипотез до опыта одинаковы – путник с равными шансами может выбрать любую из трёх дорог. Поэтому

Р(Н₁) = Р(Н₂) = Р(Н₃) = 1/3.

После того, как результат опыта становится известным (путник пришёл в пункт А) вероятности гипотез должны быть пересмотрены, так как меняется их смысл: Р(Н₁/А), Р(Н₂/А), Р(Н₃/А) – соответственно вероятности того, что путник пришёл в город А предварительно выбрав дорогу на город Н₁, Н₂, Н₃.

Естественно, что прийти в город А путник скорее всего мог, если с самого начала выбрал дорогу на город Н₃. Поэтому Р(Н₃/А) > Р(Н₃). Не много шансов за то, что путник пришёл в город А, пройдя по дороге через Н₁. Поэтому Р(Н₁/А) < Р(Н₁).

Для оценки вероятности гипотезы Н₂ при условии, что путник в пункт А пришел необходимо воспользоваться формулой Бейеса:

Р(Н_i/А)= = .

Применительно ко второй гипотезе можно записать:

Р(Н₂/А) = = = .

Следовательно, Р(Н₂/А) = < Р(Н₂) = .