Связь между (не)совместностью и (не)зависимостью

• Несовместные события с ненулевыми вероятностями зависимы.

Доказательство. Здесь и далее докажем для двух событий и , не ограничивая общности.

Дано:

Иными словами, если произошло одно событие, то другое, вследствие несовместности, произойти уже не может. Следовательно, они зависимы.

Замечание. Здесь .

• Независимые события с ненулевыми вероятностями совместны.

Доказательство.

Дано: .

Иными словами, если произошло одно событие, то и другое может произойти не зависимо от первого. Следовательно, они совместны.

Формулы полной вероятности и байеса

Если события удовлетворяют двум условиям:

1. несовместность (см. выше);

2. всеохватность (сумма всех событий есть достоверное событие): ;

то говорят, что образуют полную группу событий (ПГС). А сами события называют гипотезами.

Если об обстановке можно выдвинуть гипотез и если событие может появиться только при одной из этих гипотез, то – формула полной вероятности.

До данного момента нам были известны лишь априорные вероятности. Формула Байеса применяется, когда известны апостериорные вероятности.

схема бернулли

Биномиальное распределение

Схема Бернулли заключается в последовательном проведении n случайных независимых экспериментов, в каждом из которых может произойти либо успех с равной вероятностью p, либо неудача. Под «успехом» можно подразумевать что угодно.

Случайная величина, равная вероятности числа успехов m, имеет биномиальное распределение:

Здесь подразумевается, что в остальных (n-m) экспериментах будет иметь место неудача с вероятностью (1-p).

При n=1 имеет место распределение Бернулли.

Биномиальное распределение может описывать как процессы с заранее заданной вероятностью (например, средняя всхожесть семян равно 0,8; см. Пример 3 на стр. 47), так и быть предельным случаем гипергеометрического распределения с p=M/N:

Наивероятнейшее число событий

Иногда в схеме Бернулли требуется найти лишь число успехов , которому соответствует максимальная вероятность. Это можно сделать и без вычисления всего ряда распределения.

заключено в интервале единичной длины, откуда различают 2 случая:

1) обычный случай – ; – одно число;

2) исключительный случай – ; – два рядом стоящие числа.

Так же двойное неравенство можно разрешить и относительно других неизвестных:

Простые однородные цепи маркова

Простая цепь Маркова – это последовательность дискретных случайных величин , где

Иными словами, условное распределение последующего состояния зависит только от текущего состояния. Здесь n – номер шага.

Вероятности перехода из состояния i в состояние j образуют матрицу переходных вероятностей или переходную матрицу на шаге n. Из свойств вероятностей имеем: ; . Цепь Маркова однородна, если переходная матрица не зависит от номера шага: . Переходная матрица квадратна, её размерность N есть число состояний цепи.

Кроме того, задается начальное вероятностное распределение цепи – вектор-строка ; . Тогда –распределение за один шаг (после одного цикла переходов). В общем случае – распределение за n шагов.

Распределение пуассона

При большом числе испытаний n вычисление по формуле биномиального распределения становится неудобным. В этом случае используют различные приближения.

Пусть также вероятность успеха p в каждом из них мала. В этом случае биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона:

Распределению Пуассона обычно соответствуют редкие события.

Формула даёт удовлетворительное приближение при малых p ≤ 0,1 и npq ≤ 9. Если вероятность велика (p ≥ 0,9), то перейдя к противоположному событию, получим тот же случай.

Распределение Пуассона имеет и самостоятельное значение. Оно играет важную роль для описания редких событий в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. – там, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т. п.).