14. Однозначні гілки логарифма і аргументу в області.

Теорема 1. У будь-якій області , яка міститься в однозв’язній області такій, що , для будь-якого і будь-якого існує єдина голоморфна в гілка функції така, що і нею є функція

. (1)

Доведення. Справді, нехай

.

Тоді  є голоморфною функцією в області і . ►

Наслідок 1. У будь-якій області , яка міститься в однозв’язній області D такій, що , за будь-якого і будь-якого можна вибрати єдину неперервну однозначну гілку функції таку, що .

Доведення. Справді, такою гілкою є функція , де та гілка в , для якої .►

Наслідок 2. В будь-якій однозв’язній області , яка міститься в однозв’язній області такій, що , за будь-яких , і , існує єдина голоморфна гілка функції така, що .

Доведення. Справді, такою гілкою є функція

де – та гілка в , для якої .►

Наслідок 3. Нехай функція  є голоморфною в однозв’язній області і для всіх . Тоді для кожних , та існують така голоморфна в гілка функції і неперервна в гілка функції ,що і , і при цьому

, . (2)

Доведення. Справді, нехай – голоморфна гілка функції в околі точки така, що . Тоді функція є голоморфною в деякому околі точки а і

.

Функція є голоморфною в . Тому

.►

Наслідок 4. Нехай функція є голоморфною в однозв’язній області і для всіх . Тоді  подається у вигляді , де – голоморфна функція в області .

Доведення. Справді, візьмемо довільну точку і визначимо функцію з рівністю (2). Оскільки , то .►

Наслідок 5. Якщо функція  є голоморфною в області G і , де D –однозв’язна область, яка не містить точки 0, то в області існують голоморфні гілки функції і , а

також неперервна однозначна гілка , які приймають задані значення з множини значень в заданій точці відповідних багатозначних функцій.

Теорема 2. Для того щоб в області існувала голоморфна гілка функції , необхідно і достатньо, щоб існувала така однозв’язна область , що і .

Доведення. Достатність випливає з теореми 1. Доведемо необхідність від супротивного. Множина є однозв’язною областю і , де об’єднання береться за всіма замкненими спрямованими жордановими кривими, які лежать в . Припустимо, що область не лежить у вказаній області , але в можна вибрати однозначну гілку функції . Тоді існує така замкнена спрямована жорданова крива , що і . Але

.

Тому результат аналітичного продовження деякого канонічного елемента функції вздовж не збігається з ним, а це суперечить теоремі 3.1. ►

Наслідок 6. Для того щоб в області G можна було вибрати однозначну гілку функції , необхідно і достатньо, щоб існувала така однозв’язна область D, що і .

15. Принцип аргументу. Логарифмічний лишок.

Теорема 1. Нехай межа обмеженої області D складається із скінченого числа замкнених жорданових спрямлюваних кривих, а функція  є голоморфною в замкненій областіD, за винятком скінченної кількості полюсів, причому на функція  не має нулів і полюсів. Тоді

, (1)

де – нулі  , - полюси , а та р_k – відповідно кратності нуля і полюса .

Доведення. Якщо - нуль функції  порядку , то в околі точки функція  подається у вигляді , де q – функція, голоморфна в точці , причому . Тоді

,

.

Отже в точці функція має простий полюс і

.

Якщо - полюс функції  порядку , то в околі точки функція  подається у вигляді , де g – функція, голоморфна в точці , причому . Тоді

.

Тобто в точці функція має також простий полюс і

.

Тому за основною теоремою про залишки

і теорема 1 доведена. ►

Якщо функція  є голоморфною в D, то (1) матиме вигляд

.

Функція називається логарифмічною похідною функції f. Якщо  голоморфна в деякому проколеному околі точки , то лишок у цій точці логарифмічної похідної функції  називається логарифмічним лишком функції  в цій точці. Як було показано вище, логарифмічний лишок нуля функції дорівнює його порядку, а логарифмічний лишок полюса функції дорівнює порядку цього полюса з протилежним знаком.

Розглянемо геометричне тлумачення доведеної теореми 1.

Числа

, ,

,

називаються відповідно приростом , , і на (приростом при обході проти годинникової стрілки), а число

дорівнює різниці між кількістю нулів та кількістю полюсів функції  в області D. Теорема 1 показує, що при виконанні її умов

.

Тому теорему 1 можна сформулювати так.

Теорема 2. (Принцип аргументу). Нехай виконуються умови теореми 1. Тоді різниця між кількістю нулів та кількістю полюсів функції  в області D дорівнює поділеному на приросту аргументу цієї функції при обході в додатному напрямі

або

.

Припустимо, що складається із однієї замкненої гладкої кривої і , – її параметризація. Тоді , є параметризацією . Оскільки – замкнена крива, то вона гомотопна деякому колу , яке обходиться n – раз, при деякому . Тому існує , для якого

.

Таким чином, теоремі 1 можна дати і таку геометричну інтерпретацію. Кількість нулів функції  в області D дорівнює кількості обходів точкою межі області , якщо точка z один раз обійде межу області D.

Наслідок 1. Якщо виконується умови теореми 1 і міститься в однозв’язній області G такій, що , то .

Доведення. Справді, за інтегральною теоремою Коші

і тому .►

Докладніше питання про прирости функцій розглянемо в подальших пунктах.

16. Теорема Руше. Таку назву має наступне твердження.

Теорема 1. Нехай функції і є голоморфними в замкненій областіD, межа якої складається із скінченої кількості замкнених спрямлюваних жорданових кривих і . Тоді функції і мають однакову кількість нулів в D (з урахуванням порядків).

Доведення. Нехай – кількість нулів функції  в області D. Тоді

, .

Нехай . Оскільки і для всіх , то і для всіх . Крім цього, якщо і – відповідно однозначні гілки функцій і на , то функція є однозначною гілкою функції на . Тому

.

Але , бо для всіх

,

Отже, і за принципом аргументу .►

Наслідок 1. Якщо функція є голоморфною і однолистою в області , то для всіх .

Доведення. Припустимо протилежне. Отже, знайдеться точка , для якої . Можемо вважати, що і . Тоді в деякому околі точки функція подається у вигляді

, , ,

причому , , , якщо , і тому для досить малих і маємо . Але в крузі рівняння має коренів. Отже, стільки ж там має коренів і рівняння , що суперечить однолистості функції .►

Приклад 1. Знайдемо кількість нулів функції в крузі . Нехай і . Тоді і для . Функція має в вісім нулів. Тому за теоремою Руше також має вісім нулів в .

Приклад 2. Знайдемо кількість нулів функції в крузі . Нехай і . Тоді і для . Функція має в п’ять нулів. Тому за теоремою Роше також має п’ять нулів в .

17. Функції, аналітичні на шляху. Функція називається аналітичною на шляху , якщо для кожного знайдеться -окіл точки і голоморфна в функція такі, що . При цьому, і , де і , називаються відповідно початковим і кінцевим елементами функції . Так називають також відповідно упорядковані пари і , де –радіус збіжності ряду Тейлора функції в околі точки . Функцію , аналітичну на шляху , з початковим канонічним елементом позначають також так: .

Теорема 1. Якщо функція є аналітичною на неперервному шляху , то її кінцевий елемент є аналітичним продовженням вздовж її початкового.

Доведення. Множина проміжків , , утворюють покриття . З цього покриття можна виділити скінченне підпокриття. Звідси і означення аналітичного продовження вздовж шляху випливає твердження теореми. ►

Наслідок 1. Якщо функція є аналітичною на неперервному шляху і для всіх з деякого проміжку , то для всіх .

Це твердження безпосередньо випливає з теореми 1 і теореми єдності для голоморфних функцій.

229