Раздел 1. Элементы линейной алгебры
Тема 1.1. Матрицы и определители Задание 4. Нахождение обратной матрицы, вычисление ранга матрицы – 1 ч.
Цель: формирование умения находить обратную матрицу, вычислять ранг матрицы.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
4.1. Выучите, какую матрицу называют обратной данной. Разберите алгоритм нахождения обратной матрицы. Продумайте, как осуществить проверку правильности решения.
4.2. Найдите обратную для заданной матрицы (если она существует):
а)
;
б)
;
в)
.
Выполните проверку правильности нахождения обратной матрицы.
4.3. Разберите, что называют рангом матрицы, какие преобразования необходимо выполнять для приведения матрицы к ступенчатому виду.
4.4. Найдите ранг матрицы:
а)
;
б)
.
4.5.
Найдите ранг матрицы:
.
Методические указания по выполнению работы:
При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Матрица А-1 называется обратной для матрицы А, если выполняется условие: А-1·А = А ·А-1= =Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.
Матрица называется единичной, если её элементы, стоящие на главной диагонали, равны 1, остальные элементы равны нулю.
Теорема.
Квадратная матрица имеет обратную, если
.
Для нахождения обратной матрицы удобно использовать следующий алгоритм:
Алгоритм нахождения обратной матрицы.
1. Вычислите
определитель матрицы А, проверьте
условие: |A|
0.
2. Найдите алгебраические дополнения элементов матрицы А и составьте матрицу алгебраических дополнений А*:
А* =
3. Составьте матрицу (А*)т, транспонируя матрицу А*.
4.
Найдите обратную матрицу по формуле:
Пример 1. Найдите матрицу, обратную матрице
Решение: 1. Находим определитель матрицы А:
|A|
=
2.Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:
Составляем
матрицу из алгебраических дополнений
А*:
А*=
Транспонируем матрицу А*:
Составляем обратную матрицу по формуле:
Проверим,
действительно ли матрица А-1
является
обратной к матрице А.
Должно выполняться равенство:
,
где Е –
единичная матрица.
.
Получили, что , следовательно, матрица А-1 является обратной к матрице А.
О
твет:
.
Пример 2. Найдите матрицу, обратную матрице А = .
Решение: 1. Находим определитель матрицы А.
|A|=
;
14
матрица
существует.
2. Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:
Составляем
матрицу из алгебраических дополнений
А*:
А*=
.
3.
Транспонируем матрицу
А*: (А*)Т=
.
4.Составляем обратную матрицу по формуле:
.
Ответ:
Для нахождения ранга матрицы ее нужно привести к ступенчатому виду: под первым ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижних строках:
Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Ранг матрицы обозначается r(А).
Приведение матрицы к ступенчатому виду осуществляется с помощью элементарных преобразований:
умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля;
перестановка местами строк;
вычеркивание нулевой строки;
прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любое действительное число.
Если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначаются А ~ В.
Для упрощения вычислений на первое место лучше ставить ту строку, в которой первый элемент равен 1.
Пример
3.
Найдите ранг матрицы А=
.
Решение: Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
Поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы первый элемент первой строки был равен 1:
Первую строку больше преобразовывать не будем.
Для того, чтобы первый элемент второй строки был равен нулю, прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):
Д
ля
того, чтобы первый элемент третьей
строки был равен нулю, прибавим к третьей
строке первую, умноженную на (-5):
Для того, чтобы матрица имела ступенчатый вид, необходимо, чтобы второй элемент третьей строки был равен 0. Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (-2):
В
ычеркнем
нулевую строку. В результате элементарных
преобразований получили матрицу:
Число ненулевых строк в полученной матрице равно двум, следовательно, ее ранг равен 2, т.е. r(А) = 2.
Ответ: r(А) = 2
Список литературы:
Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 2, §2.3, стр. 33 – 36.
Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 1, §3, стр. 78 – 81.