Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

Задание 12. Решение задач на нахождение производных и дифференциалов с использованием правил и формул дифференцирования – 1 ч.

Цель: формирование умения находить производные и дифференциалы функций, используя правила и формулы дифференцирования.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 12.1. Выучите определение производной функции в точке, с помощью таблицы «Формулы дифференцирования» проанализируйте, как находятся производные основных элементарных функций. Запомните правила дифференцирования функций и выясните, как они применяются. Изучите технику нахождения производной функции.

 12.2. Найдите производную функции:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

В ам известно, что к созданию дифференциального исчисления одновременно и независимо друг от друга в семнадцатом веке пришли гениальные ученые Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц. Они использовали абсолютно разные подходы. Концепция Лейбница базировалась на введенном им понятии дифференциала. Однако в научных кругах достаточно долго не утихала бурная дискуссия о приоритете изобретения дифференциального исчисления. Вероятно, именно ее имел в виду замечательный русский поэт, когда писал такие строки:

О Лейбниц, о мудрец, создатель вещих книг!

Ты выше мира был, как древние пророки.

Твой век, дивясь тебе, пророчеств не достиг

И с лестью смешивал безумные упреки.

Выполнив задание 12.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете фамилию автора стихотворения - поэта серебряного века.

Фамилия автора стихотворения:

а)	б)	в)	г)	д)	е Г.В.Лейбниц (1646-1716) )

Карта ответов:

Ч	Б	Ж	Л	Н
В		И	Ы	Р
Е		П	К	Ю
О		М		А
С		Й

 12.3. Выясните, как находится производная функции в точке.

12.4. Найдите производную функции в указанной точке:

а) ;

б) .

 12.5. Выучите определение дифференциала функции и запомните формулу, которая используется для его нахождения.

12.6. Найдите дифференциал функции:

а) ;

б) .

 12.7. Выясните, при каких значениях x производная функции отрицательна.

 12.8. Найдите область определения функции, полученной в результате дифференцирования данной функции: .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

П

или .

роизводной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции есть некоторая функция , производная из данной функции. Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: или .

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Для нахождения производных основных элементарных функций удобно использовать следующую таблицу: «Формулы дифференцирования».

Формулы дифференцирования:

c' = 0 x' = 1 (xn)' = п·xn-1 (sin x)' = cos x (cos x)' = -sin x (tg x)' = (ctg x)' = -

(ex)' = ex (ax)' = ax lna (ln x)' = (logax)' = (arcsin x)' = (arccos x)' = (arctgx)' = (arcctgx)' =

В ряде случаев, если функция представляет собой сумму, разность, произведение или частное двух функций, для нахождения ее производной используются правила дифференцирования.

Пусть u и v – дифференцируемые функции, с – константа. Тогда справедливы правила нахождения производной суммы, произведения и частного двух функций:

1. (cu)' = c u'

2. (u ± v)' = u' ±v'

3. (u∙v)' = u'v + v'u

4. 

Таким образом, для нахождения производной функции удобно использовать следующую технику. Определите, что представляет собой функция. Если она является основной элементарной – для нахождения производной сразу используйте таблицу «Формулы дифференцирования». В тех случаях, когда перед Вами сумма, разность, произведение или частное функций – сначала используйте соответствующее правило дифференцирования, затем (для дифференцирования основной элементарной функции) таблицу «Формулы дифференцирования».

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример 1. Найдите производную функции .

Решение. Функция представляет собой сумму и разность функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом (u ± v)' = u' ±v':

.

Константу можно вынести за знак производной по правилу: (cu)' = c u'. Тогда

.

Далее воспользуемся формулами нахождения производных:

= .

Ответ: .

Пример 2. Найдите производную функции .

Решение. Функция представляет собой частное функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом :

= = =

= . Ответ: .

Если производная функции в общем случае представляет собой некоторую функцию, то производная функции в точке является числом. Для нахождения производной функции в точке надо продифференцировать данную функцию, а затем в полученное выражение вместо аргумента подставить указанную точку.

Пример 3. Найдите производную функции в точке х_о=е.

Решение. Сначала найдем производную функции как производную произведения. Воспользуемся правилом (u·v)' = u'v + v'u:

= = .

Для нахождения производной функции в точке в производную вместо аргумента подставим :

Тогда = =1+1=2.

Ответ: =2.

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ): . Поскольку дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: , дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной:

Пример 4. Найдите дифференциал функции .

Решение. По формуле находим:

.

Ответ: .

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 33, стр. 205-210; § 36, стр.215-217; § 44, стр.240-245.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 6, §6.1, стр. 116 – 118.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §4, стр. 208– 228; §6, стр. 245– 247.