Міністерство освіти і науки України

Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка

Фізико-математичний факультет

Кафедра математики

Проективна геометрія і методи зображень Індивідуальні завдання

МОДУЛЬ А

(рік навчання 2, семестр1)

для студентів ІІ курсу

напряму підготовки 6.040201 „Математика”

Полтава – 2009

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ

МОДУЛЬ А

(рік навчання 2, семестр 1)

ЗАВДАННЯ № 1

Проективний простір. Квадрики на проективній площині

Розв’яжіть задачі варіанту, визначеного для Вас викладачем.

Варіант	Номери задач
1	1	11	21	31
2	2	12	22	32
3	3	13	23	33
4	4	14	24	34
5	5	15	25	35
6	6	16	26	36
7	7	17	27	37
8	8	18	28	38
9	9	19	29	39
10	10	20	30	40
11	1	11	21	31
12	2	12	22	32
13	3	13	23	33
14	4	14	24	34
15	5	15	25	35
16	6	16	26	36
17	7	17	27	37
18	8	18	28	38
19	9	19	29	39
20	10	20	30	40
21	1	11	21	31
22	2	12	22	32
23	3	13	23	33
24	4	14	24	34
25	5	15	25	35
26	6	16	26	36
27	7	17	27	37
28	8	18	28	38
29	9	19	29	39
30	10	20	30	40

1. Проективне відображення прямої d на пряму d' задане трьома парами відповідних точок А і А', В і В', С і С. Побудувати образ і прообраз спільної точки В цих прямих.

2. Виконати малюнок до теореми Дезарга, якщо пряма Дезарга є невласною.

3. Користуючись теоремою Дезарга, довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці.

4. Проективне відображення пучків з центрами О і О' задане трьома парами відповідних прямих а і а', b і b', с і с'. Побудувати образ і прообраз прямої ОО'.

5. Прямі а і b перетинаються в точці К, прямі с і п — в точці М, причому точки К i М — недоступні. Користуючись теоремою Дезарга, побудувати доступну частину прямої КМ.

6. На розширеній площині задане проективне відображення прямої d на пряму d' трьома парами відповідних точок А i А',В' i В',С і С'. Побудуйте образ невласної точки прямої d.

7. Дано точку Р і дві прямі а і b, що перетинаються в недоступній точці Q . Побудувати доступну частину прямої РQ, використовуючи теорему Дезарга.

8. Дано конфігурацію Дезарга: S- дезаргова точка, АВС і А'В'С — дезаргові тривершинники, UVW — дезаргова пряма. Прийнявши точку В за дезаргову точку, знайти дезаргові тривершинники та дезаргову пряму.

9. Проективне перетворення прямої d задане трьома парами відповідних прямих А i А',В i В',С і С. Побудувати образ точки В цієї прямої.

10. Користуючись теоремою Дезарга, побудувати пряму, що проходить через дану точку паралельно до двох даних паралельних прямих.

11. На проективній площині задано репер R. Побудувати пряму

2х₁+x₂+3х₃=0.

12. У даному репері R на розширеній площині точки А₁ та Е - невласні. Побудувати точки С(2; 3; 0) та М(3;-1;2).

13. У даному репері R на проективній площині побудувати точки М(2;0;5) та N(1;-4;3).

14. У даному репері на розширеній площині точка А₂ — невласна. Побудувати пряму х₁-2х₂+x₃=0.

15. У даному репері R на розширеній площині точка Е — невласна. Побудувати пряму x₁-x₂+4x₃=0.

16. Дано точки А₁, А₂, А₃ проективного репера R і точку М(2; 2; 3). Побудувати одиничну точку Е репера R.

17. Дано репер R проективної площини. Побудувати пряму МN, що проходить через точки М(2; 0; 5), N(1; -2; 2).

18. У даному репері R на розширеній площині точки А₁ і А₃ — невласні. Побудувати точки К(2: 0; 1) та М(4; -1; 1).

19. Дано точки А₁, А₂, А₃ проективного репера R площини і точку К(-1;2;-1). Побудувати одиничну точку Е цього репера.

20. У даному репері R на розширеній площині точка А₁ — невласна. Побудувати точки К(0; 1;2) і М(2; -3; 1).

21. Дано відрізок АВ та його середину. Користуючись лише лінійкою, побудувати відрізок довжиною 3АВ.

22. Дано відрізок АВ і пряму т, паралельну до АВ. Користуючись тільки лінійкою, поділити АВ на три рівні частини.

23. На прямій дано точки А, В, С. Побудувати точку D таку, що (АВ,СD)=2.

24. Дано координати точок проективної площини А(3; 1; -1), B(3; 4; 5), С(5; -1; -7). Перевірити, що ці точки лежать на одній прямій та знайти координати точки D такої, що (AВ,СD) = -1.

25. Довести, що прямі а і b та дві прямі, що поділяють пополам кути між ними, утворюють гармонічну четвірку.

26. Довести, що кінці відрізка розширеної прямої гармонічно розділяються серединою відрізка і невласною точкою цієї прямої.

27. На прямій дано точки А, В, С. Побудувати точку D цієї прямої таку, що (АВ, СD) = -2.

28. Дано відрізок АВ і пряму k, паралельну до АВ. Побудувати відрізок довжиною 4АВ, користуючись лише лінійкою.

29. Довести, що бісектриси зовнішнього і внутрішнього кутів при вершині А трикутника АВС гармонічно розділяють сторони АВ і АС.

30. Дано відрізок АВ і його середину. Користуючись лише лінійкою, поділити АВ на три рівні частини.

31. Дано асимптоти гіперболи і точку А цієї кривої. Побудувати ще одну точку гіперболи.

32. Дано п’ять дотичних а, b, с, d, e до овальної кривої другого порядку. Побудувати точку дотику прямої а.

33. Дано асимптоти гіперболи і точку А цієї кривої. Побудувати дотичну до гіперболи в точці А.

34. Дано три дотичні а, b, с до овальної кривої другого порядку та точки дотику А і В перших двох дотичних. Побудувати ще одну дотичну до цієї кривої.

35. Дано три точки А, В, С овальної кривої другого порядку та дотичні в точках А і В. Побудувати дотичну в точці С.

36. Дано чотири точки А, В, С, D овальної кривої другого порядку, дотичну в точці А і пряму СМ. Побудувати точку перетину прямої СМ із кривою.

37. Дано чотири дотичні а, b, с, d до овальної кривої другого порядку і точку дотику А прямої а. Побудувати ще одну точку цієї кривої.

38. Дано відрізки АВ і СВ — спряжені діаметри еліпса і пряму СМ. Побудувати точку перетину еліпса з прямою СМ.

39. Дано три точки А, В, С овальної кривої другого порядку та дотичні в точках А і В. Побудувати ще одну точку цієї кривої.

40. Дано п'ять дотичних до овальної кривої другого порядку та точку М на одній iз них. Через точку М провести дотичну до кривої.