4.4. Контрольные вопросы
1. При каких условиях возможно возникновение динамического хаоса?
2. Что такое аттрактор?
3. Что такое точка бифуркации?
4. Что такое детерминированный хаос? Проиллюстрируйте это понятие результатами лабораторной работы.
4. Что дает исследование нелинейных моделей социальных систем?
4.5. Задания
1. Проведите эксперименты с моделью при различных начальных состояниях. Проанализируйте поведение странного аттрактора.
2. Проведите эксперименты с различными значениями параметра .
3. Исследуйте поведение системы, описываемой нелинейным разностным уравнением [5]
.
Указания:
поведение решения уравнения зависит
от начального приближения. При
появится предельный цикл с периодом 2,
при
– цикл с периодом 10, при
наступает хаотический режим.
5. Модели клеточных автоматов
5.1. Цель работы
Исследование принципов моделирования с использованием клеточных автоматов на примере реализации игры "Жизнь" с помощью электронных таблиц Excel.
5.2. Постановка задачи
Клеточным
автоматом
называется сеть из связанных элементов,
имеющих конечное множество состояний
и меняющих свое состояние в дискретные
моменты времени (такты
).
Состояние автомата в момент
определяется его состоянием и состоянием
ближайших соседей
(окрестности автомата)
в момент
.
Чаще всего рассматривают двумерные
клеточные автоматы, элементами которых
являются клетки.
То есть двумерный клеточный автомат
похож на лист бумаги в клетку. Обычно
клеточный автомат функционирует в
некотором замкнутом пространстве,
например, например, в квадратной решетке
клеток. Иногда рассматриваются бесконечные
автоматы. Обычно рассматриваются
однородные клеточные автоматы, правила
изменения состояний которых одинаковы
для всех клеток. Если правила поведения
автомата не зависят от случайных
факторов, то автомат называется
детерминированным,
в противном случае автомат называется
стохастическим.
Описанные клеточные автоматы являются
автоматами без
памяти. Реже
рассматриваются автоматы
с памятью.
У таких автоматов состояние, в которое
переходит автомат в момент
,
зависит от состояний в моменты
и
самого автомата и его окрестности.
Как уже было сказано, состояние автомата определяется его собственным состоянием и состоянием соседних автоматов (окрестности автомата). Наиболее распространенными видами окрестностей являются окрестности фон Неймана (рис. 5.1а) и Мура (рис. 5.1б).
Рис. 5.1. Окрестности фон Неймана (а) и Мура (б)
Окрестность фон Неймана составляют 4 соседние клетки, окрестность Мура – 8 клеток.
Поведение клеточного автомата рассмотрим на примере игры "Жизнь". Игра моделирует процессы зарождения, развития и гибели колоний живых организмов. Игра проводится на ограниченном игровом поле (оригинальная игра, изобретенная математиком Дж. Конвеем, проводится на бесконечном игровом поле). Игра состоит из шагов, соответствующих дискретным моментам времени ( ). Один ход в игре – это переход всех клеток из состояния, соответствующего моменту , в состояние, соответствующее моменту . Каждая клетка может быть живой (обозначается 1) или мертвой (обозначается 0). Состояние клетки в момент определяется состоянием 8 соседних клеток (окрестность Мура) в момент . Для каждой клетки строится потенциал клетки – число живых соседей по окрестности Мура. Поведение клетки подчиняется следующим правилам:
– если потенциал равен 2, то состояние клетки не меняется;
– если потенциал равен 3, то в следующий момент будет живой независимо от текущего состояния;
– при остальных значениях потенциала (0, 1, 4, 5, 6, 7) клетка будет мертвой.
Таким образом, если у клетки более трех живых соседей, то она погибает от "перенаселения". Клетка погибает от "одиночества", если жива только одна соседняя клетка или нет живых соседей. Выживает клетка, имеющая двух или трех живых соседей.
Поведение клеток в игре определяется исходным состоянием. Некоторые первоначальные распределения клеток погибают, некоторые не изменяются, некоторые изменяются, некоторые перемещаются по игровому полю без изменений.