1.2. Метод Эйлера решения оду и систем оду
Рассмотрим решение уравнения . ОДУ можно решить аналитически, т. е. получить решение в виде формулы. Но получение аналитического решения требует определенных знаний в области математики, для многих уравнений получить аналитическое решение весьма сложно или невозможно.
Мы
будем использовать численные
методы, т. е.
получать численные значения решения
при
определенных значениях
.
Причем расчет проводится последовательно,
начиная с
.
Рассмотрим
простейший численный метод решения ОДУ
– метод Эйлера (метод Эйлера-Коши). Этот
метод не обеспечивает высокую точность
вычислений, но для наших мягких моделей
не требуется высокая точность. Рассмотрим
упрощенный вывод формулы метода (строгое
математическое доказательство можно
найти в любой книге по численным методам
решения ОДУ, например, в [6]). Интервал
изменения независимой переменной
,
на котором ищется решение, разобьем на
отрезков точками
,
расположенных с постоянным шагом
(рис. 1.3). В общем виде шаг может быть
переменным.
Рис. 1.3. Разбиение оси
Учитывая
определение производной и предполагая
малую величину шага
,
запишем уравнение в разностной форме
в точке
,
откуда получаем
,
где .
Выражение
представляет собой формулу метода
Эйлера. Расчет по производится в
следующей последовательности: сначала
по известному начальному условию в
точке
находится значение решения
в точке
,
затем находится
и т. д.
При
решении методам Эйлера систем
дифференциальных уравнений вида для
каждого значения
независимой переменной независимо
друг от друга вычисляются все значения
зависимых переменных
.
Обозначим через
значение зависимой переменной
,
вычисленное при значении
независимой переменной. Тогда формула
метода Эйлера для решения системы вида
ОДУ имеет вид
.
К системе вида может быть сведено дифференциальное уравнение высшего порядка
с начальными условиями
.
Применим цепочку преобразований
Начальные условия примут вид
Таким
образом, уравнение n‑порядка
свелось к системе из
уравнений первого порядка. Неизвестными
являются
.
Пример.
Уравнение
с начальными условиями
сводится к системе уравнений
с
начальными условиями
.
1.3. Контрольные вопросы
1.
Объясните влияние параметров
и
уравнения на вид логистической кривой.
2. В чем, по-вашему, состоит различие аналитических и численных методов решения ОДУ?
3. На какую характеристику решения влияет величина шага в формуле ?
4. Можно ли методом Эйлера получить решение в произвольной точке, не вычисляя решения в предыдущих точках?
5. Приведите последовательность действий и рабочие формулы для решения методом Эйлера ОДУ .
6. Приведите последовательность действий и рабочие формулы для решения методом Эйлера системы ОДУ .
7. Приведите последовательность действий и рабочие формулы для решения методом Эйлера ОДУ .
1.4. Задания
Запишите формулы метода Эйлера для следующих уравнений и систем уравнений
1.
,
где
и
– константы.
2.
где
– константы.
3.
где
и
– константы.
4.
5.
,
где
– константа.
6.
,
где
–
константа.
7.
где – константа.
8.
,
где и – константы.
9.
где
и
– константы.
10.
.
11.
,
где
– константа.
12.
.
2. РЕШЕНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ EXCEL
2.1. Цель работы
Освоение метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью электронных таблиц Excel. Исследование полученного решения.
2.2. Постановка задачи
Рассмотрим логистическое уравнение
,
где – емкость экологической ниши (сколько особей могут жить на данной территории), – скорость рождения, – скорость смертности.
Используя метод Эйлера, получим
,
где
– значение решения в момент времени
,
– шаг по времени.
2.3. Решение дифференциального уравнения с помощью электронных таблиц Excel
Рассмотрим
решение логистического уравнения при
,
,
,
,
,
.
Сначала занесем исходные данные. В ячейку A2 занесем начальное значение времени t=0. Аналогично заносятся другие исходные данные (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Пример заполнения таблицы
В ячейку A3 занесем формулу
=A2+$F$2
и распространим эту формулу на ячейки A3 – A22. В результате получаем в этих ячейках значения моментов времени от 1 до 20 с шагом 1. В ячейку B3 занесем формулу
=B2+$F$2*$C$2*B2*($D$2-B2)-$F$2*$E$2*B2,
которая представляет собой запись формулы и распространим эту формулу на ячейки B3 – B22 (рис. 2.1). В результате этих ячейках получим решение уравнения .