§ 4. Координаты точки на поверхности земли и ее моделях

Координаты точки (от лат. со – совместно и ordinates – упорядоченный, определенный) – это линейные и (или) угловые величины, которые определяют положение точки на плоскости, на поверхности объемной фигуры и в пространстве.

Д ля определения положения точки на поверхности Земли и ее моделях применяют следующие координатные системы:

1. Географические координаты точки.

2. Сферические координаты точки.

3. Геоцентрические координаты точки.

4. Геодезические координаты точки.

5. Астрономические координаты точки.

6. Полярные координаты точки.

Географические координаты точки – это угловые величины – географическая широта и географическая долгота, которые определяют положение точки на поверхности земного сфероида относительно земного экватора и гринвичского меридиана.

Географическая широта точки А (рисунок 4.1) – это плоский угол φ (фи) между плоскостью земного экватора и нормалью этой точки к поверхности земного сфероида.

Географическую широту точки А измеряют с помощью дуги меридиана точки А ( ), которая заключена между земным экватором и этой точкой (рисунок 4.1). Если провести параллель точки А, то дуги всех меридианов, заключенные между земным экватором и параллелью этой точки, будут равны по длине ( ). Поэтому географическую широту точки можно измерить или вычислить с помощью дуги любого меридиана, которая заключена между земным экватором и параллелью этой точки. Географическую широту точки измеряют или вычисляют в следующих угловых единицах:

- в радианах;

- в градусах, минутах и секундах;

- в градусах, минутах и десятых долях минуты;

- в градусах, минутах и сотых долях минуты;

- в градусах, минутах и тысячных долях минуты.

Географическую широту точки измеряют в диапазоне 0º-90º в следующих направлениях:

- от нуля градусов на земном экваторе до девяноста градусов в сторону северного истинного полюса Земли (Р_N);

- от нуля градусов на земном экваторе до девяноста градусов в сторону южного истинного полюса Земли (Р_S).

Таким образом, точка А в северном полушарии и точка С в южном полушарии могут иметь равные числовые значения географической широты.

Для исключения неоднозначности - географической широте точки присваивают следующие наименования:

- северная (С) или нордовая (N) широта точки, если эта точка находится в северном полушарии;

- южная (Ю) или зюйдовая (S) широта точки, если эта точка находится в южном полушарии.

Например:

- – широта точки А пятьдесят три градуса, четырнадцать минут и тридцать шесть секунд северная;

- – широта точки С пятьдесят три градуса, четырнадцать минут и тридцать шесть секунд южная;

- – широта точки пять градусов, пять и семь десятых минуты нордовая;

- – широта точки двадцать четыре градуса, восемь и три десятых минуты зюйдовая;

- – широта точки сорок четыре градуса, одна и четыре сотых минуты нордовая;

- – широта точки три градуса, семь и восемь тысячных минуты зюйдовая.

Г еографическая долгота точки А (рисунок 4.2) – это двугранный угол λ (лямбда) между плоскостью гринвичского меридиана и плоскостью меридиана этой точки А.

Плоскость гринвичского меридиана – это плоскость сечения земного сфероида DP_NOP_S (рисунок 4.2), которая проходит через гринвичский меридиан и ось вращения Земли.

Плоскость меридиана точки А – это плоскость сечения земного сфероида AP_NOP_SB, которая проходит через меридиан точки А и ось вращения Земли.

Географическую долготу точки А можно измерить или вычислить в таких угловых единицах, как радианы, угловые градусы, минуты и секунды или градусы, минуты и десятые (сотые, тысячные) доли минуты двумя способами:

1. С помощью дуги земного экватора ( рисунок 4.2), которая заключена между гринвичским меридианом и меридианом точки А.

2. С помощью сферического угла DP_NAB при северном истинном полюсе Земли P_N между гринвичским меридианом и меридианом точки А.

Географическую долготу точки измеряют в диапазоне 0º-180º в следующих направлениях:

- от нуля градусов на гринвичском меридиане до ста восьмидесяти градусов в сторону востока;

- от нуля градусов на гринвичском меридиане до ста восьмидесяти градусов в сторону запада.

Таким образом, точка А в восточном полушарии и точка F в западном полушарии могут иметь равные числовые значения географической долготы. Для исключения неоднозначности – географической долготе точки, присваивают следующие наименования:

- Восточная (В) или остовая (Е) долгота точки – если эта точка находится в восточном полушарии;

- Западная (З) или вестовая (W) долгота точки – если эта точка находится в западном полушарии.

Например:

- - долгота точки А – тридцать шесть градусов, сорок минут и тринадцать секунд восточная;

- - долгота точки F – тридцать шесть градусов, сорок минут и тринадцать секунд западная;

- - долгота точки і – сто семьдесят шесть градусов, двадцать четыре и шесть десятых минуты остовая.

- - долгота точки і – девяносто семь градусов, две и пять тысячных минуты вестовая.

Сферические координаты точки – это угловые величины – сферическая широта и сферическая долгота точки, которые определяют положение данной точки на поверхности земного шара относительно земного экватора и гринвичского меридиана.

Рисунок 4.3

Сферическая широта точки А (рисунок 4.3) – это плоский угол φ_Асф между плоскостью земного экватора и радиусом земного шара в этой точке.

Радиус земного шара в точке А – это радиус шара, проходящий через эту точку.

Сферическую широту точки А измеряют дугой любого меридиана, которая заключена между земным экватором и параллелью этой точки от нуля градусов на земном экваторе до девяноста градусов в сторону северного истинного полюса и в сторону южного истинного полюса.

Сферическая долгота точки А (рисунок 4.3) – это двугранный угол между плоскостью гринвичского меридиана и плоскостью меридиана точки.

Плоскость гринвичского меридиана – это плоскость сечения земного шара, проходящая через гринвичский меридиан и ось вращения Земли.

Плоскость меридиана точки А – это плоскость сечения земного шара, проходящая через меридиан точки А и ось вращения Земли.

Сферическую долготу точки А можно измерить или вычислить двумя способами:

1. С помощью дуги земного экватора ( рисунок 4.3), которая заключена между гринвичским меридианом и меридианом этой точки от нуля градусов на гринвичском меридиане до ста восьмидесяти градусов в сторону востока и в сторону запада.

2. С помощью сферического угла DP_NB при северном истинном полюсе Земли P_N между гринвичским меридианом и меридианом точки А.

Рисунок 4.4

Геоцентрические координаты точки – это угловые величины – геоцентрическая широта точки и геоцентрическая долгота точки, которые определяют положение этой точки на земном сфероиде относительно этого сфероида.

Геоцентрическая широта точки А (рисунок 4.4) – это плоский угол φ_гц между плоскостью земного экватора и радиусом-вектором земного эллипсоида в этой точке. Радиус-вектор ( ) эллипсоида в какой-либо точке – это отрезок прямой, соединяющий центр эллипсоида с этой точкой. Разность между географической и геоцентрической широтами ( ) называется редукцией широты, величину которой можно вычислить по формуле:

, (4.1)

где - редукция широты, секунды;

- степень полярного сжатия земного эллипсоида;

- географическая широта произвольной точки і;

- величина одной угловой секунды ( ), выраженная в радианах:

Согласно формуле (4.1) редукция широты достигает максимального значения на широте 45º ( ). Так, например, если точка і находится на эллипсоиде Красовского, то . Тогда:

Геоцентрическая долгота точки (λ_гц) равна географической долготе этой точки (λ_гц = λ), т.к. радиус-вектор земного эллипсоида в какой-либо точке находится в плоскости меридиана этой точки.

Геоцентрические координаты применяются для решения некоторых математических задач астрономии (от греч. astron – звезда и nomos – закон), картографии (от греч. chartёs – лист или свиток папируса и - пишу) и гироскопии (от греч. – кружусь, вращаюсь и – смотрю – наука о быстровращающемся теле).

Геодезические координаты точки – это угловые величины – геодезическая широта и геодезическая долгота точки, а также линейная величина – геодезическая высота точки, которые определяют положение этой точки на поверхности планеты Земля относительно поверхности земного сфероида.

Рисунок 4.5

Геодезические координаты точки А измеряют в следующей последовательности (рисунок 4.5):

1. Фигуру планеты Земля совмещают с земным сфероидом так, чтобы малая ось земного сфероида совпала с осью вращения Земли, а плоскость земного экватора этого сфероида совпала с земным экватором планеты Земля.

2. Через точку А земной поверхности проводят нормаль к поверхности земного сфероида (АВ).

3. Измеряют географические координаты точки С, которая является проекцией точки А планеты Земля на поверхность земного сфероида:

3.1 Географическую широту точки С ( ).

3.2 Географическую долготу точки С ( ).

4. С помощью отрезка АС измеряют геодезическую высоту точки А относительно поверхности земного сфероида.

Астрономические координаты точки – это угловые величины – астрономическая широта точки и астрономическая долгота точки, которые определяют положение этой точки на поверхности геоида и на небесной сфере.

Для измерения астрономических координат точки А на поверхности геоида производят следующие геометрические построения (рисунок 4.6):

1. Проводят вертикаль точки А до пересечения с плоскостью земного экватора в точке В. Поскольку вертикаль точки обычно отклонена от плоскости географического (истинного) меридиана, то точка В расположена на некотором удалении от линии ОЕ, которая является линией пересечения плоскости истинного меридиана точки А с плоскостью земного экватора (линия пересечения плоскости P_NAEO с плоскостью OEF).

Рисунок 4.6

2. Из точки А опускают перпендикуляр на плоскость земного экватора и получают точку С, которая является проекцией точки А на плоскость земного экватора, а линия ВС является проекцией вертикали точки А на плоскость земного экватора.

3. Плоский угол АВС между плоскостью земного экватора и вертикалью точки А называется астрономической широтой точки А ( ).

4. Через вертикаль точки А, через линию ВС и через линию АС проводят плоскость ACDK, которая является вертикальной плоскостью и называется плоскостью астрономического меридиана точки А. Поскольку плоскость ACDK проходит через линию АС, которая является перпендикуляром к плоскости земного экватора и поэтому параллельна оси вращения геоида P_N-P_S, то плоскость астрономического меридиана точки А в отличии от плоскости истинного меридиана этой точки не проходит через ось вращения геоида, а параллельна этой оси. Кривая АК является линией пересечения плоскости астрономического меридиана с поверхностью геоида и называется астрономическим меридианом точки А.

5. Астрономическую долготу точки А определяют три угла: