Конические сечения

1. Эллипс (окружность) – рис. 87.

Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса, т. е. пересекает все образующие, то в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом. В частности, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса вращения, то в сечении получается окружность (рис. 87). Угол наклона секущей плоскости к оси конуса в этом случае больше угла наклона образующей конуса к оси.

Эллипс Окружность

Рис. 87

2. Парабола (прямая) – рис. 88.

Если секущая плоскость параллельна одной образующей конуса (на рис. 88 - SА), то в сечении получается парабола. Это разомкнутая кривая, так как плоскость не пересекает образующую SА даже в продолжении; и имеет одну ветвь, так как верхнюю полу конуса плоскость тоже не пересекает. В частности, если плоскость проходит через вершину конуса, в сечении получается прямая SА, по которой плоскость касается конуса.

Можно также сказать, что парабола получается, если секущая плоскость наклона к оси конуса под углом, равным углу наклона образующей к оси.

Парабола Прямые

Рис. 88

3. Гипербола (две прямых) – рис. 89.

Если секущая плоскость параллельна двум образующим, например, SА и SВ (рис. 89), то в сечении получается гипербола. Точки 1 и 2 — вершины двух ветвей гиперболы. В частности, если плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получается пара пересекающихся прямых (образующих конуса).

Рис. 89

Пересечение сферы проецирующей плоскостью

С фера (шар) представляет собой единственное геометрическое тело, поверхность которого пересекается плоскостью любого положения всегда по окружности.

Секущие плоскости, проходящие через вертикальную ось сферы, рассекают ее по меридианам. Секущие плоскости, проходящие перпендикулярно к вертикальной оси сферы, рассекают ее по параллелям. Рис. 90

На рис. 91 изображена сфера в трех ортогональных проекциях, усеченная горизонтально-проецирующей плоскостью. Эта плоскость рассекает сферу по окружности, которая на горизонтальную плоскость проецируется в отрезок, совпадающий с горизонтальным следом P_П1 секущей плоскости. Фронтальная и профильная проекции этой окружности изобразятся эллипсами, так как плоскость среза расположена наклонно к плоскостям П₁ и П₂.

Построение эллипса (проекции фигуры сечения сферы плоскостью) начинают с построения характерных точек.

Характерными точками являются:

• концы большой (С и D) и малой (А и В) осей эллипса ;

• точки, лежащие на фронтальном очерке сферы - N и M;

• точки, лежащие на горизонтальном очерке сферы (А и В);

• точки, лежащие на профильном очерке сферы (Е и F).

Малая ось эллипса: АВ будет лежать на экваторе. Точки А и В с горизонтальной проекции проецируют с помощью линий проекционной связи на фронтальную (А₁ и В₁) и профильную (А₃ и В₃) проекции экватора.

Большая ось эллипса располагается перпендикулярно к малой оси. Для ее построения на горизонтальной проекции из точки О₁ проводят перпендикуляр к малой оси АВ. Большая ось на горизонтальную плоскость проекций проецируется в точку D₁ ≡ С₁. Из этой точки с горизонтальной проекции на фронтальную и профильную проводят линии проекционной связи. Большая ось на этих плоскостях проекций параллельна оси O_Z и равна диаметру окружности, лежащей в плоскости среза. Это расстояние (АВ) измеряют на горизонтальной проекции и переносят на фронтальную и профильную проекции, получая фронтальную проекцию D₂С₂ и профильную проекцию D₃С₃ большой оси.

Рис. 91

Затем строятся точки N и M, лежащие на фронтальном очерке (меридиане) сферы, а также точки Е и F, лежащие на профильном очерке сферы.

Фронтальные проекции точек N и M - N₂; M₂ лежат на фронтальной проекции фронтального очерка сферы ( на фронтальном меридиане сферы). Профильные проекции точек N и M - N₃; M₃ лежат на профильной проекции фронтального очерка сферы.

Профильные проекции точек Е и F – Е₃ и F₃ лежат на профильной проекции профильного очерка сферы (на профильном меридиане сферы).

Затем строятся промежуточные точки: 1, 2, 3, 4 с помощью вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательные параллели проводят так, чтобы окружность – линия сечения сферы проецировалась на плоскость проекций без искажения. В данном случае параллели должны быть параллельны фронтальной плоскости проекций. Проводим плоскости: R₁ и Q₁ , рассекающие сферу по окружностям радиусами r₁ и r₂. Точки 1, 2, 3, 4 лежат на этих окружностях. Радиус параллели всегда замеряется в данной плоскости от оси поверхности вращения до очерка.

Взаимное пересечение поверхностей,

одна из которых — многогранная

Для закрепления темы «Сечения поверхностей плоскостью» и наглядного представления полезности пройденного предлагаем несколько примеров.

На рис. 95 и 96 приведены построения сквозных многогранных отверстий тел вращения.

Постарайтесь без дополнительных объяснений разобраться в построениях. На чертежах указаны все необходимые для построения характерные точки.

Рис. 95 а

Рис. 95 б

Рис. 96 а

Рис. 96 б

При решении задач на пересечение поверхностей плоскость следует придерживаться алгоритма построения:

1. Определить в пространстве форму линии сечения поверхности, заданными плоскостями.

2. Определить форму проекции линии сечения на всех плоскостях проекций, на которых по условию задачи выполняются изображения.

3. на проекции сечения, которая изображается прямой линией, совпавшей со следом секущей плоскости, обозначить проекции характерных точек искомой линии:

   1. точки, принадлежащие очеркам поверхностей;

   2. точки, по которым можно построить графическим приемом всю линию: для эллипса – большую и малую оси; для параболы и гиперболы – вершины и концы наибольшей хорды, для многоугольника – его вершины.

4. Построить недостающие проекции точек на чертеже.

5. Построить промежуточные точки лини сечения и соединить все точки с учетом видимости.

6. Обвести существующий очерк.

7. Провести прямые пресечения секущих плоскостей с учетом видимости.

В сечении конуса (рис. 95):

1. плоскостью Ψ получается парабола, так как плоскость параллельна одной образующей конуса SА;

2. плоскостью ω — круг радиуса О₂Т₂;

3. плоскостью φ — треугольник, так как плоскость проходит через вершину конуса;

4. точки 7 и 8 называются точками-границами видимости для профильной проекции, так как они лежат на образующих конуса, очерковых для профильной проекции конуса.

На рис. 96 все три плоскости γ, ψ, ω пересекают сферу по окружностям, но проецируются они по-разному на различные плоскости проекций.

1. Точки 9, 10, 13, 14 — точки-границы видимости для профильной проекции.

2. Точки 7, 8, 11, 12 — точки-границы видимости для горизонтальной проекции.

3. А, В, С, В — концы осей эллипсов, в которые на П₁ и П₂ проецируется окружность плоскости ω.

На рис. 97 задан эпюр трехгранной пирамиды с трапецеидальным окном. Разберитесь в построениях. Постройте сами профильную проекцию.

Рис. 97