3.3. Нескінченні границі

Означення. Кажуть, що послідовність має своєю границею +, якщо для будь-якого (як завгодно великого числа А>0 існує такий номер N, починаючи з якого усі члени послідовності більші за А:

.

У цьому випадку пишуть: .

Наприклад, кожна із послідовностей на нескінченності має границю +.

Аналогічно визначається границя -: запис означає, що

.

Границі + і - називають нескінченними границями.

3.4. Число е. Натуральні логарифми

Розглянемо послідовність , та підрахуємо декілька її членів, які подамо у вигляді таблиці

n	1	2	3	4	5	10	100	1000	10000
	2	2.25	2.37	2.44	2.49	2.59	2.70	2.717	2.718

Бачимо, що . Можна показати, що для будь-якого n має місце нерівність , яка означає, що послідовність монотонно зростаюча. В той же час усі підраховані значення задовольняють нерівності . Можна показати, що ці нерівності мають місце для усіх значень n. Тоді, згідно з теоремою 2, монотонна обмежена послідовність має скінчену границю.

Означення. Скінчену границю послідовності назива­ють числом е (на честь Леонарда Ейлера), тобто

. (2)

Число е – ірраціональне число, яке часто використовується в математиці та економіці, а з точністю дорівнює 2,71828182845… .

Логарифми, основою яких є число е, називаються натуральними або неперовими (на честь шотландського математика Дж. Непера – винахідника логарифмів) і позначаються . Між десятковими і натуральними логарифмами існує зв’язок, який виражається формулами:

, .

3.5. Границя функції на нескінченності і в точці

Границя функції на нескінченності. З поняттям границі числової послідовності тісно пов’язане поняття границі функції на нескінченності. Якщо у першому випадку змінна n, зростаючи, приймає лише цілі значення, то у другому випадку змінна х, змінюючись, приймає будь-які значення.

Означення. Число b називається границею функції при , яке прямує до нескінченності , якщо для будь-якого , знайдеться таке додатне число . , що для всіх таких, що , справедлива нерівність .

Дамо означення границі функції за допомогою логічних символів:

.

Ця границя записується так:

Рис. 2

.

Зокрема, якщо відомо, що існують границі лише коли змінна прямує до + чи -, то границі записуються у вигляді: , .

Геометрична інтерпретація границі на нескінченності (рис. 2.).

Нерівність еквівалентна подвійній нерівності .

Границя функції в точці. Нехай функція задана в деякому околі точки x₀, крім, можливо, самої точки x_0.

Означення. Число b називається границею функції при x, що прямує x₀ (або в точці x₀), якщо для будь-якого (як завгодно малого), знайдеться таке додатне число , що для всіх х, таких, що виконується нерівність (рис. 3).

Записується так .

Рис. 3

Розглянемо геометричну інтерпретацію границі функції в точці

Приклад 1. Довести, що .

Розв’язання. Згідно означення границі, маємо

.

З останньої нерівності випливає, що

.

Для того, щоб виконувалась остання нерівність достатньо взяти .

Приклад 2. Довести, що .

Розв’язання. Задамо довільне число і знайдемо число , таке, що для всіх і таких, що , виконується нерівність

. (3)

Щоб знайти таке , слід розв’язати останню нерівність відносно . На відміну від попереднього прикладу, де це вдалося зробити за допомогою тотожних перетворень, у даному прикладі потрібно застосувати прийом підсилення нерівності (3). Справді

. (4)

Підсилимо нерівність (3), замінивши множник на число, якого він не перевищує. Для цього на шукане накладемо обмеження . Це завжди можна зробити, оскільки залежить від , а число , можна задавати як завгодно малим.

Тоді , або . Додаючи до всіх трьох частин останньої нерівності число 4, дістанемо . Тому нерівність (4) підсилимо, якщо візьмемо .

Замінивши в нерівності (4) множник на число 5, будемо вимагати виконання нерівності

. (5)

Якщо виконується нерівність (5), то й поготів виконується нерівність (4) і рівносильна їй нерівність (3).

З нерівності (5) знаходимо, що

.

Отже, за можна взяти менше із двох чисел 1 і .

Таким чином, якщо і , то , для чого достатньо взяти .

Зауваження. Якщо функція має границю число b₁ , лише при умові, що зліва, то використовується запис: , а число b₁ називається однобічною границею функції зліва.

Якщо функція має границю b₂ при справа, то використовується запис .

Для існування границі функції в точці х₀ необхідно і достатньо, щоб

.

Якщо в деякій точці х₀ лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній, то функція терпить розрив в цій точці.

Наприклад, функція в точці має різні односторонні границі: .