3.1. Действия над матрицами

Для матриц одного порядка определены линейные операции сложения и умножения на число, которые выполняются покомпонентно, т. е.

C_mn = A_mn + B_mn  c_ij = a_ij + b_ij (i,j: 1 i  m; 1  j  n);

D_mn = A_mn  d_ij = a_ij (i,j: 1 i  m; 1  j  n).

Легко видеть, что совокупность матриц одного порядка образует линейное пространство размерности m n, нулем в этом пространстве является матрица, все элементы которой равны нулю. Пространство матриц порядка m 1 очевидно совпадает с введенным ранее пространством столбцов высоты m.

Для матриц кроме умножения на число можно ввести операцию умножения друг на друга; матрицы можно перемножать лишь в том случае, когда число столбцов левого сомножителя равно числу строк правого сомножителя.

Простейшим случаем матричного умножения является произведение матрицы-строки (a_1j)_1n на матрицу столбец (b_i1)_n1, результатом такого умножения будет матрица порядка 1 1, т. е. фактически число

(c) = (a_ij)_1n  (b_ij)_n1 = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ +… a_1nb_n1 = . (1)

В общем случае результатом умножения матрицы A_mn на матрицу B_nr будет матрица C порядка m r, причем ее элементы вычисляются аналогично формуле (1); при этом индекс строки (первый) наследуется от левого сомножителя, а индекс столбца (второй) – от правого сомножителя

c_ij = . (2)

Например, с₂₃ = a₂₁b₁₃ + a₂₂b₂₃ = 2×3 + 0×2 = 6

Всего таких сумм для определения всех элементов нужно вычислить m r. Как видно из самого определения, произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно, поскольку произведение A_mnB_nr существует, а B_nrA_mn – нет¹⁸. В случае квадратных матриц одного порядка умножение выполнимо всегда, но не всегда коммутативно.

Единичная матрица коммутирует с любой матрицей соответствующего порядка и AE = EA = А A порядка n (проверьте); таким образом, единичная матрица по отношению к умножению матриц аналогична обычной единице.

Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т. е.

A(B + C) = AB + AC

всегда, когда операции выполнимы.

Важный частный случай: A_mn c_n = b_m, т. е. умножение матрицы m n на n-вектор дает m-вектор. Координаты результата b_i определяются выражением: b_i = .

3.2. Определители

Определителем называется числовая функция квадратной матрицы; процедура вычисления определителей достаточно сложна, и чтобы ее описать нам понадобятся некоторые новые понятия. Определитель матрицы A = (a_ij) обозначается ||a_ij|| или det A¹⁹.

Определитель матрицы первого порядка равен ее единственному элементу. Определитель матрицы второго порядка (обычно говорят короче – определитель второго порядка) равен по определению:

det A = .

Определители более высокого порядка вычисляются с помощью рекуррентной процедуры, т. е. процедуры, которая позволяет свести вычисление определителя порядка n к вычислению n определителей порядка n – 1. Если такая процедура построена, то поскольку определитель второго порядка вычислить можно, значит можно вычислить определитель третьего порядка, а значит можно вычислить определитель четвертого порядка и т. д. Для описания этой рекуррентной процедуры нам понадобятся некоторые новые понятия.

Минором M_ij матрицы A называется определитель, который получается из A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Пусть

Тогда

В миноре M₁₂ строк и столбцов по n–1, поскольку из матрицы A вычеркнуты первая строка и второй столбец (проверьте).

Алгебраическим дополнением A_ij матрицы A называется соответствую-щий²⁰ минор M_ij, умноженный на (–1)^(i+j). Таким образом, если сумма индексов число четное, то дополнение равно соответствующему минору, а если нечетное – то дополнение отличается от минора знаком. A_ij = (–1)^(i+j) M_ij.

Определение Определитель порядка n равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения этих элементов²¹

det A = a_i1 A_i1 + a_i2 A_i2 + a_i3 A_i3 + … +a_in A_in = . (3)

Здесь i – индекс строки, по которой вычисляется определитель, он одинаков у всех элементов, входящих в сумму, и их алгебраических дополнений.

Представление определителя в виде формулы (3) называется разложением определителя по i-ой строке.

Разложение определителя по строке сводит вычисление данного определителя к вычислению миноров – т. е. определителей меньшего порядка, и, следовательно, представляет собой искомую рекуррентную процедуру. Поскольку для определителей второго порядка у нас формула есть, и есть способ свести вычисление определителя порядка n к вычислению определителей порядка n – 1, то тем самым задача вычисления определителя любого порядка решена (см. первый пример из пункта 3.4) .

Если выполнить все процедуры, предписанные формулой (3), то мы увидим, что определитель порядка n есть сумма произведений определителей порядка n-1 на соответствующие коэффициенты. Двигаясь далее, увидим, что он равен сумме n(n-1) определителей порядка n-2 , умноженных на два сомножителя. В итоге получим, что определитель порядка n есть сумма произведений n сомножителей. В каждое произведение входит по одному представителю каждой строки и каждого столбца, и сумма берется по всем возможным произведениям такого рода, причем перед половиной из них стоит знак минус. При этом заметим, что алгебраические дополнения и миноры некоторой строки не содержат элементов самой этой строки, поскольку получаются из исходной матрицы вычеркиванием соответствующей строки. Следовательно, в формуле разложения по i-ой строке (3) ни одно из дополнений A_ij не содержит, например, a_i2. Значит, A_i2 является коэффициентом при a_i2 в определителе матрицы A. Вообще, дополнение A_ij является коэффициентом при элементе a_ij в определителе det A, т. е., если сгруппировать все слагаемые, которые содержат множитель a_ij, и вынести его за скобки, в скобках останется соответствующее дополнение A_ij.