2.6. Примеры подпространств

1. В R₃ всякая плоскость, проходящая через начало координат, образует двумерное подпространство, а всякая прямая, проходящая через начало координат, образует одномерное подпространство (плоскости и прямые, не содержащие 0, подпространствами быть не могут), и других подпространств в R₃ нет.

2. В пространстве столбцов K₃ столбцы вида , т. е. столбцы, у которых третья координата равна 0, образуют подпространство, очевидно изоморфное пространству K₂ столбцов, высоты 2.

3. В пространстве P_n многочленов, степени не выше n, многочлены, степени не выше 2-х, образуют трехмерное подпространство (у них по три коэффициента).

4. В трехмерном пространстве P₂ многочленов, степени не выше 2, многочлены, обращающиеся в 0 в заданной точке х₀, образуют двумерное подпространство (докажите!).

5. Задача. В пространстве K₄ множество М состоит из столбцов, координаты которых удовлетворяют условию: ₁  2₂ + ₃ = 0 (*). Докажите, что М  трехмерное подпространство K₄.

Решение. Докажем, что М  подпространство. Действительно, пусть аМ, bМ, значит, а₁  2а₂ + а₃ = 0, b₁  2b₂ + b₃ = 0. Но по правилу сложения векторов (а + b)_i = а_i + b_i. Отсюда следует, что если для векторов а и b условие (*) выполнено, то и для а + b это условие выполнено. Так же ясно, что если для столбца а условие (*) выполнено, то оно выполнено и для столбца а. И, наконец, нуль-вектор множеству М принадлежит. Таким образом доказано, что М  подпространство. Докажем, что оно трехмерно. Отметим что любой вектор а М в силу условия (*) имеет координаты (**). Пусть m₁ = , m₂ = , a h₄ = . Покажем, что система векторов {m₁, m₂, h₄} образует базис в М. Составим линейную комбинацию ₁m₁ + ₂m₂ + h₄ = с произвольными коэффициентами. Очевидно, что любой вектор а из М (см. (**)) раскладывается по набору {m₁, m₂, h₄}; для этого достаточно выбрать в качестве коэффициентов разложения координаты вектора ₁ = а₁, ₂ = а₂, ₄ = а₄. В частности, единственной линейной комбинацией векторов m₁, m₂, h₄, равной нуль-вектору, является комбинация с нулевыми коэффициентами: ₁ = 0, ₂ = 0, ₄ = 0. Из единственности разложения нуль-вектора следует, что {m₁, m₂, h₄}  независимая система векторов. А из того факта, что всякий а М раскладывается по системе {m₁, m₂, h₄}, следует, что эта система полная. Полная и независимая система образует базис в подпространстве М. Так как этот базис содержит три вектора, то М трехмерное подпространство.

3. Матрицы и определители

Матрицей порядка (размерности) mn называется прямоугольная таблица, каждый элемент которой снабжен двумя индексами: первый указывает номер строки в матрице, а второй – номер столбца

.

Пишут также A = (a_ij) (1≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n); или (a_ij)_mn; указание размера может быть опущено.

Элементами матриц обычно являются вещественные числа, но возможны и матрицы с элементами иной природы, в частности, в качестве элементов матрицы могут выступать другие матрицы.

При фиксированном первом индексе i набор элементов (a_i1, a_i2, a_i3, … a_in) называется i-ой строкой (например, 3-я строка имеет вид (a_31, a₃₂, a₃₃, … a_3n) ), соответственно, при фиксированном втором индексе j набор называется j-м столбцом. При n = m (число строк равно числу столбцов) матрица называется квадратной «порядка n».

Совокупность элементов квадратной матрицы {a_ii} = {a₁₁ a₂₂ … a_nn} с одинаковым номером строки и столбца называется главной диагональю. Если у квадратной матрицы все элементы равны нулю, кроме элементов a_ii, стоящих на главной диагонали, матрица называется диагональной; если равны нулю все элементы, ниже главной диагонали (k < i  a_ik = 0), матрица называется верхней треугольной (если равны нулю все элементы выше главной диагонали – то нижней треугольной).

Если все диагональные элементы диагональной матрицы равны единице, матрица называется единичной и обозначается E:

.

Транспонированием (транспозицией) матрицы называется замена в мат-рице строк столбцами и наоборот; соответственно, у равных элементов пря-мой и транспонированной матриц меняются местами индексы¹⁷. При записи операция транспозиции обозначается штрихом справа вверху (a_ik)' = (a_ki).