2.3. Примеры

1. Пространство R₃ – известное из школьного курса трехмерное пространство векторов – «направленных отрезков» с обычными операциями сложения «по правилу параллелограмма» и умножения на число. Стандартный базис образуют три взаимно перпендикулярных вектора, направленных по трем осям координат; их обозначают буквами i, j и k.

2. Пространство K_n столбцов высоты n имеет размерность n. Стандартный базис в пространстве столбцов образуют векторы – это столбцы, у которых на i-ой позиции стоят единицы, а остальные элементы нули:

.

Действительно, легко видеть, что любой столбец раскладывается по системе векторов единственным образом, а именно: , т. е., коэффициенты разложения по для любого столбца просто равны соответствующим элементам этого столбца.

3. Пространство многочленов, степени не выше n, имеет размерность n + 1. Стандартный базис в этом пространстве: { }. В самом деле, из определения многочлена степени n следует, что любой многочлен, степени не выше n, однозначно представля­ется в виде линейной комбинации векторов , причем коэффициентами линейной комбинации являются просто коэффициенты многочлена (если степень многочлена равна k < n, то первые n – k коэффициентов равны 0).

2.4. Изоморфизм линейных пространств

Пусть базис в L_n. Тогда каждому a  L_n взаимно однозначно соответствует набор из n чисел – координат вектора a в базисе . Следовательно, каждому aL_n можно взаимно однозначно сопоставить вектор из пространства столбцов K_n – столбец , который образуется из координат вектора a. При так определенном соответствии базису будет сопоставлен стандартный базис из K_n¹².

Легко проверить, что суммирование векторов в L_n приводит к суммированию соответствующих координат в базисе ; значит, сумме векторов в L_n отвечает при нашем соответствии сумма соответствующих столбцов в K_n; аналогичное правило имеет место и для умножения на число.

Взаимно однозначное соответствие между элементами двух пространств с сохранением введенных в этих пространствах операций называется изоморфизмом. Изоморфизм, как и равенство, свойство транзитивное (переходное): если пространство L_n изоморфно K_n, а пространство K_n изоморфно некоторому пространству M_n, то и L_n изоморфно M_n.

Теорема 3. Всякое линейное пространство размерности n изоморфно K_n, следовательно, в силу транзитивности, все линейные пространства размерности n изоморфны друг другу. ▄

Изоморфные объекты с точки зрения математики являются в сущности только разными «воплощениями» (реализациями) одного объекта, и любой факт, доказанный для некоторого пространства, справедлив и для любого другого пространства, изоморфного первому.

2.5. Подпространства

Подпространством пространства L называется подмножество M L, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число, т. е.

x, y M 

Очевидно, 0M, если M – подпространство L, т. е., нуль-вектор принадлежит любому подпространству¹³.

Каждое подпространство линейного пространства само является линейным пространством. Множество {0} является подпространством (все аксиомы линейного пространства выполнены, если пространство состоит из единственного элемента – нуль-вектора)¹⁴.

Каждое линейное пространство содержит два тривиальных подпространства: само пространство и нулевое подпространство {0}; прочие подпространства называются нетривиальными.

Пересечение двух подпространств является подпространством. Объединение двух подпространств подпространством, вообще говоря, не является, например, объединение двух прямых, проходящих через начало координат, не содержит суммы векторов, принадлежащих разным прямым (такая сумма лежит между прямыми)¹⁵.

Пусть , n < k – система независимых векторов в L_k. Тогда множество всех линейных комбинаций этих векторов, т. е. множество всех векторов вида

a = ₁f₁ + ₂f₂ + … + _nf_n

образует n-мерное подпространство G{f₁, f₂, … f_n}, которое называется линейной оболочкой векторов {f₁, f₂, … f_n }.

Теорема 4. Базис любого подпространства может быть дополнен до базиса всего пространства. Т. е. пусть M_n L_k подпространство, размерности n<k, и пусть – базис в M_n. Тогда в L_k существует такой набор векторов  L_k, что система векторов {f₁,f₂, … f_n, g₁, g₂, … g_k-n}¹⁶ линейно независима и содержит k элементов, следовательно, образует базис. ▄