2.2.3. Некоторые замечания

П онятие линейной зависимости является важнейшим в линейной алгебре, поэтому следует помнить оба определения. Эти определения эквивалентны, действительно, если при некотором k ⁷ то т. к. коэффициент при e_k в этом разложении нуля равен –1, то комбинация нетривиальна. Т. о. из первого определения зависимости (один из векторов раскладывается по остальным) следует второе определение (существует нетривиальное разложение нуля).⁸

Важно понять, что линейная независимость свойство не векторов, а наборов – набор векторов-многочленов {x+1, x²+1} независим, а набор {x+1, x²+1, 2x+2} зависим, причем два вектора входят в оба набора. В дальнейшем всякий раз, когда используется выражение “эти векторы являются линейно зависимыми (или независимыми)” имеется в виду, что они образуют линейно зависимую (или, соответственно, независимую) систему векторов.

Два вектора зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны: {a,b}– зависимая система  : a=b . Два вектора из R₂ линейно зависимы тогда и только тогда, когда они принадлежат одной прямой (коллинеарны), три вектора из R₃ – когда они принадлежат одной плоскости (компланарны). На рисунке 2 пары {a,b}, {a,с},{b,с} – линейно зависимы, а пары {i,j}, {i,a}, {j,с} – независимы. Любые три из изображенных на рисунке векторов образуют зависимый набор, поскольку лежат в одной плоскости.

Расширение системы векторов путем присоединения к ней одного или нескольких векторов может превратить независимую систему в зависимую, но никогда не наоборот. Напротив, сужая систему мы можем превратить зависимую систему в независимую, но не наоборот. Соответственно, любая подсистема независимой системы независима, а всякий набор, содержащий зависимую часть, линейно зависим.

Заметим, что определению независимости векторов можно придать и такую форму: векторы независимы, тогда и только тогда, когда разложение нуль-вектора по ним единственно. Отметим также, что если есть хоть один вектор, который по данной системе раскладывается двумя способами, то данная система векторов зависима (попробуйте доказать).

2.2.4. Размерность и базис

Линейное пространство называется конечномерным, если существует такое целое n, что все независимые системы векторов в этом пространстве содержат не более n элементов.

Размерностью конечномерного линейного пространства L называется максимально возможное число векторов в линейно независимой системе (обозначается dim L или dim_L). Другими словами, линейное пространство называется n–мерным, если:

1. В пространстве существует независимая система, состоящая из n векторов;

2. Любая система, состоящая из n +1 вектора, линейно зависима.

Б

Рис. 1

азисом линейного пространства L_n называется любая независимая система векторов , число элементов которой равно размерности пространства.

Теорема 1. Всякую независимую систему векторов можно дополнить до базиса. Т. е., если система из n векторов k-мерного пространства  L_k независима и содержит векторов меньше, чем размерность пространства (n<k), то всегда найдутся такие k–n векторов  L_k, что объединенная совокупность векторов {e₁,e₂,…e_n, f₁,f₂,…f_k-n} независима, содержит k векторов и, следовательно, образует базис L_k. ▄ Таким образом, во всяком линейном пространстве есть много (на самом деле – бесконечно много) базисов.

Система векторов называется полной, если любой aÎL можно разложить⁹ по векторам системы (возможно разложение не единственно).

Напротив, разложение любого вектора по независимой системе всегда единственно (но не всегда существует). Т. е. из

следует ¹⁰.

Теорема 2. Разложение любого вектора по базису линейного пространства всегда существует и единственно. То есть, базис является независимой и полной системой ¹¹. Коэффициенты _i разложения вектора по базису {e_i} называются координатами вектора в базисе {e_i}.▄

Все координаты нуль-вектора равны 0 в любом базисе.